Az x^2-2 (m+1) x+3m+1=0 másodfokú egyenletben határozd meg az m egész paraméter értékét úgy, hogy a gyökök reciprokai összegének másfélszerese egész szám legyen?

Először nézzük, hogy mi lesz a reciprokok összege:

1/x1 + x/x2 = (x2+x1)/(x1*x2)

Viéte formuláiból tudjuk, hogy x1+x2=-b/a és x1*x2=c/a, tehát:

(x2+x1)/(x1*x2) = (-b/a)/(c/a) = -b/c

Mivel b=-2*(m+1) és c=3m+1, ezért

-b/c = -(-2*(m+1))/(3m+1) = (2m+2)/(3m+1), ennek vesszük a másfél=3/2-szeresét:

(3/2)*(2m+2)/(3m+1) = (6m+6)/(6m+2), az a kérdés, hogy ez milyen m-re lesz egész.

Innen be tudod fejezni?

Ezt a törtet a tanultak szerint szét lehet bontani:

(6m+6)/(6m+2) = (6m+2+4)/(6m+2) = (6m+2)/(6m+2) + 4/(6m+2) = 1 + 4/(6m+2)

Ez az összeg akkor lesz egész, hogyha 4/(6m+2) egész. Ez pedig akkor lesz egész, hogyha 6m+2 osztója a 4-nek, tehát 6m+2 lehetséges értékei: -4, -2, -1, 1, 2, 4, azt kell megnézni, hogy ezek milyen m-ekre kerülnek elő:

6m+2=-4, erre m=-1 jön, ez jó.

6m+2=-2, erre m=-4/6 jön, ez nem egész.

6m+2=-1, erre m=-3/6 a megoldás, ez sem egész.

6m+2=1, erre m=-1/6, ez sem egész

6m+2=2, erre m=0, ami egész, tehát jó.

6m+2=4, erre m=2/6 adódik, ami szintén nem egész.

Tehát a kérdés m=-1 és m=0-ra fog teljesülni.