Matematikailag, nem tudunk elindulni, helyhez vagyunk kötve. Megoldás? :D

A mértani sorról kell tanulni ehhez:

[link]

1/2+(1/2)^2+(1/2)^3+ ... =(1/2)*1/(1-1/2)=1

Ez a klasszikus 1/x eset, vagyis mennyire nagy számot kell beírni x helyére, hogy a tört nulla legyen. (Mennyi lépés kell, hogy a hátralévő út nulla legyen.)

Válasz: Soha nem lesz nulla, akármekkora számot írunk is be. Ha minden határon túl növeljük a példában a lépések számát, akkor a hátralévő táv nullához fog tartani (nullához konvergál), a határértéke(!) nulla lesz, de soha nem éri el a nullát, vagyis ilyen módon soha nem tesszük meg a teljes távot.

Sok válasz született, kár, hogy egyik sem a kérdésre válaszol...

Valóban, az ember úgy gondolhatja, hogy ezzel a módszerrel soha nem fog eljutni a B pontba. Amit viszont az ember nem, vagy nem megfelelően vesz figyelembe, az az idő!

A példát kétféleképpen lehet értelmezni, idő szempontjából;

1), ahogy első körben gondolkodnak az emberek: tegyük fel, hogy az út felét mindig pontosan 1 nap alatt tesszük meg. Tehát 1 nap alatt az út 1/2 részét tettük meg, 2 nap alatt az 1/2+1/4=3/4 részét, 3 nap alatt az 1/2+1/4+1/8=7/8 részét, és így tovább. Hogy ha mindig betartjuk azt a játékszabályt, hogy 1 nap alatt csak az út felét tehetjük meg, akkor valóban úgy van, hogy sose érünk a B pontba, pontosabbann végtelen sok napra lenne rá szükség. Persze ez nem túl életszerű, elvégre ha 50 km-t meg tudtunk 1 nap alatt tenni, akkor 5 méter esetén nem fogunk 2,5 métert megtenni 1 nap alatt, de tény, hogy ebben az értelmezésben valóban végtelen sok időre van szükség.

2), ahogy a való életben történik; az egyszerűség kedvéért vegyük úgy, hogy egyenes vonalú egyenletes mozgást végzünk, ami azt jelenti, hogy a megtett út és az eltelt idő egyenes arányban áll egymással.

Vegyünk egy 100 km hosszú útszakaszt, és tegyük fel, hogy mindig 100 km/h sebességgel haladunk. Alapvetően nem lenne nehéz kiszámolni, hogy így 1 óra szükséges ahhoz, hogy eljussunk a célba.

Nézzük a felezgetéssel mi történik; megtesszük az út felét, ekkor fél óra telik el. Megtesszük a felének a felét, ennyi idő alatt a fél óra fele telik el, tehát 3/4 óra. Újabb felet megtéve 7/8 óra telik el.

Általánosságban tehát azt mondhatjuk, hogy 50+25+12/5+... km megtételéhez 1/2+1/4+1/8+... óra szükséges.

És itt a lényeg; az 1/2+1/4+1/8+... összeg mindenképp kevesebb lesz egy adott értéknél, ami egyben az úgynevezett határértéke is, ez az 1 óra. Ez csak annyit jelent, hogy ha 1 óra eltelik, akkor biztos, hogy célba fogunk érni.

A két megközelítés között az a különbség, hogy az első esetben az úthoz szükséges idő végtelenhez tart (1 nap + 1 nap + 1 nap + ... = végtelen nap), a második esetben pedig egy határt biztosan nem lép át (1/2 óra + 1/4 óra + 1/8 óra + ... < 1 óra), emiatt utóbbi esetben nincs arról szó, hogy ne jutnánk el A-ból B-be.