Két pozitív egész szám összegéhez hozzáadva a két szám különbségét, szorzatát és hányadosát az összeg 32. Melyik ez a két szám?

Két egész szám összege, különbsége, szorzata is egész szám. A hányadosuk viszont lehet nem egész szám is. Mivel az eredmény 32, ami egész szám, ezért biztos, hogy „a” egész számú többszöröse „b”-nek, vagy máshogy fogalmazva „a” maradék nélkül osztható „b”-vel. Használjuk is ezt ki:

a := nb

ahol n egész szám.

Ekkor:

(a+b)+(a-b)+(a*b)+(a/b) = 32

(nb+b)+(nb-b)+(nb*b)+(nb/b) = 32

2nb + nb² + n = 32

n*(2b+b²+1) = 32

n * (b+1)² = 2⁵

Ebből az jön ki, hogy n∈{2¹,2³,2⁵}, azaz n∈{2,8,32}

~~~~~ n=2 esetén ~~~~~

n * (b+1)² = 2⁵

2 * (b+1)² = 2⁵

(b+1)² = 2⁴

b+1 = ±2² = ±4

b = 3

(b=-5 esetén b nem lenne pozitív egész)

Ebben az esetben:

a = nb = 2b = 2*3 = 6

b = 3

(a+b)+(a-b)+(a*b)+(a/b) = (6+3)+(6-3)+(6*3)+(6/3) = 9+3+18+2 = 32

~~~~~ n=8 esetén ~~~~~

n * (b+1)² = 2⁵

8 * (b+1)² = 2⁵

(b+1)² = 2²

b+1 = ±2

b = 1

(b=-3 esetén b nem lenne pozitív egész)

Ebben az esetben:

a = nb = 8b = 8*1 = 8

b = 1

(a+b)+(a-b)+(a*b)+(a/b) = (8+1)+(8-1)+(8*1)+(8/1) = 9+7+8+8 = 32

~~~~~ n=32 esetén ~~~~~

n * (b+1)² = 2⁵

32 * (b+1)² = 2⁵

(b+1)² = 1

b+1 = ±1

(Sem b=0, sem b=-2 esetén nem lenne b pozitív egész

~~~~~ Megoldás ~~~~~

A két szám a következő lehet:

a=6, b=3

vagy

a=8, b=1

Máshonnan indulj ki.

Az egyenletet szorzd meg b-vel, rendezd nullára, akkor b-re egy másodfokú egyenletet kapsz "a" paraméterrel. Írd fel a másodfokú egyenlet megoldóképletét. Ekkor kapsz egy olyan képletet b-re, amelyben szerepel egy gyök. Ennek négyzetszámnak kell lennie, különben nem lehet b egész.

Így azt kapod, hogy (2*a-32)^2 - 4*a^2 = n^2, ahol n egy egész szám. A műveleteket elvégezve és a-t kifejezve egy törtet kapsz, amely egész. A tört (32*32-n*n)/4*32. Felbontva és egyszerűsítve 8 - n*n/8*16. E képletből világos, hogy a tört számlálója négyzetszám, nevezője nem, tehát csak úgy kaphatunk egészet, ha n=0. Ekkor viszont a = 8. Így kiderül, hogy b képletében a gyök nulla, tehát b=1 lesz. Vagyis egyetlen megoldás létezik, mégpedig a=8 és b=1.

> Vagyis egyetlen megoldás létezik, mégpedig a=8 és b=1.

Ehhez képest:

a=6, b=3

(6+3) + (6-3) + (6*3) + (6/3) = 9 + 3 + 18 + 2 = 32

(Most hirtelen nem látom, mi a hiba a számítási módszeredben, de majd meglesem.)

2*Sü

Megoldás jó, bár volt benne egy apró baki, ami az ellenőrzés miatt el lett hagyva. Az n nem lehet 32, csak 2 és 8. :)

2*Sü megoldása nagyon szép, a levezetés is, nem értem, hogy miért pontozták le egyesek.

#8

Nem egészen értem, hogy mire gondolsz. Ha arra, hogy n=32-re nincs pozitív egész megoldás, az elég egyértelműen kiderül a levezetésből.

> Megoldás jó, bár volt benne egy apró baki, ami az ellenőrzés miatt el lett hagyva. Az n nem lehet 32, csak 2 és 8. :)

Igen, egy gondolati lépést nem írtam le részletesen, ami miatt a 2 és a 8 nem jöhet számításba:

Ugye:

n * (b+1)² = 2⁵

„n” ugye egész. „b” is egész, így (b+1) is egész. Nyilván a 2⁵ is egész.

2⁵ az 2 páratlan számú hatványa. Nyilván n-nek és (b+1)-nek is 2 egész számú hatványának kell lennie, de itt b+1 a négyzeten van.

Így hát (b+1)² az 2-nek páros számú hatványa kell, hogy legyen.

Ezért n-nek 2 páratlan számú hatványának kell lennie.

Azért nézzük meg alaposabban:

~~~~~ n=2²=4 esetén ugye ~~~~~

2² * (b+1)² = 2⁵

(b+1)² = 2³

b+1 = 2^(3/2) = ±2*√2

b = ±2*√2 - 1

b nyilván nem lesz egész

~~~~~ n=2⁴=16 esetén ugye ~~~~~

2⁴ * (b+1)² = 2⁵

(b+1)² = 2¹ = 2

b+1 = ±√2

b = ±√2 - 1

b szintén nem lehet egész.

A lényeg, hogy n csak 2-nek a páratlan számú hatványa lehet, így csak három eset jöhet szóba:

n=2¹=2

n=2³=8

n=2⁵=32