A matematikában mi az a gyűrű?

A gyűrű egy speckó algebrai cucc. Van egy halmazod, és értelmezel rajta két műveletet. Az egyik legyen a #, a másik a *. Egyik sem vezet ki a halmazból.

A # annyit tud, hogy a#(b#c)=(a#b)#c. A * kicsit többet tud, van egységeleme, azaz van olyan l elem a halmazban, hogy bármelyik x elemre x*l=x. Továbbá minden elemnek van inverze, azaz x-hez van olyan y, hogy x*y=l. Innentől a halmaz a műveletekkel gyűrű.

Ezen túl pedig a két művelet egymással is kapcsolatban van: a*(b#c)=a*b#a*c.

Például vegyük a számok hattal való osztási maradékait! Szűkítsük le a számok összeadását és szorzását erre a halmazra úgy, hogy az eredmény a szokásos eredmény hattal való osztási maradéka legyen! Ekkor ez a halmaz gyűrű. Nézzük az összeadási táblázatot!

[link]

A szorzási táblázat:

[link]

A disztributivitás ellenőrizhető. A szorzás lesz a # művelet, az összeadás lesz a * a fentiek szerint.

A gyűrűnek van egy alaphalmaza, amin értelmezünk két műveletet. Legyenek ezek a T és az x.

A T művelet az összeadáshoz hasonló. Kommutatív, asszociatív, van hozzá nullelem, és mindennek van ellentettje. Ezzel a művelettel az alaphalmaz Abel-csoport.

A kommutatív tulajdonság nélkül csak csoport lenne.

A gyűrűben van egy másik művelet, ami a szorzáshoz hasonlít. Asszociatív, és disztributív a T műveletre. Mivel nem kell kommutatívnak lennie, azért két oldalról is kikötik a disztributivitást. Tehát c x (a T b) = c x a T c x b, illetve (a T b) x c = a x c T b x c. Nem kell, hogy egységeleme legyen, ha van, akkor a gyűrű egységelemes.