Hogy bizonyítanátok be, hogy az alábbi halmaz szuprénuma éppen a √2?

Helyes a feladat kiírás!

A sup a legkisebb felső korlát.

Be kell bizonyítanod, hogy felső korlát és utána azt, hogy nem létezik nála kisebb felső korlát.

A kiírás nem helyes, a kérdésre ebben a formában egy olyan _racionális_ szám lenne a válasz, ami az adott racionális számok szuprémuma. (Vagyis nem √2, hanem az, hogy nincs megoldás.)

: sup_R{x∈Q : x>0, x²≤2} = √2 vagy

: sup{x∈R : x racionális, x>0, x²≤2} = √2

lenne a helyes kiírás.

De a wiki is így használja, lásd az utolsó példát itt: [link]

Van egy olyan elv, hogy a helytelen kiírásokat úgy kell értelmezni hogy megfelelő nehézségű feladat legyen belőle.

Bizonyítani meg úgy kell, hogy kikeresed a sup definícióját valahonnan, és megmutatod, hogy igaz.

A wiki legalábbis így definiálja a lap tetején:

> „The supremum (abbreviated sup; plural suprema) of a subset S of a partially ordered set T is the least element in T that is greater than or equal to all elements of S, if such an element exists.[1]”

Tehát a racionális számok egy részhalmazának a sup-ja (ha létezik) akkor racionális.

Gondolom ti is valahogy hasonlóan definiáltátok.

Ha R lenne, akkor triviális lenne, mivel akkor egyben maximum is lenne.

A feladat pont azért érdekes, mert egy, a racionális számok halmazának részhalmazának egy irracionális szám a szuprémuma, vagyis a legkisebb alsó korlátja. Nem nehéz belátni, hogy -√2<=x<=√2, de mivel x racionális, ezért -√2<x<√2. Látható, hogy √2-nél mindig kisebb lesz az x, és kisebb számot nem lehet nála mondani úgy, hogy ne legyen x, hogy annál nagyobb.

Például; tegyük fel, hogy nem √2, hanem mondjuk 1,414213 a szuprémuma a halmaznak. Rögtön lehet egy olyan számot mondani, ami ennél nagyobb, mégpedig az 1,4142131, lévén -√2<1,4142131<√2. Ezt bármelyik √2-nél kisebb számra el lehet játszani.

Persze ez nem egy precíz bizonyítás, csak azt akartam ezzel szemléltetni, hogy racionális szám nem lehet a szuprémuma.

Sőt; ha azt mondjuk, hogy ha az alaphalmaz is Q, akkor a halmaznak végtelen sok racionális korlátot tudunk mondani, de egyik sem lesz szuprémum közülük.

ma 21:45

Nem, nem és nem.

A szakirodalomban általános esetben, ha nincs más kikötve, akkor a sup a valós számok halmazán van értelmezve. Jelen esetben sup H is valós számhalmazon van értelmezve, attól függetlenül, hogy H véletlenül egy olyan speciális részhalmaza, amely pont a racionális számok részhalmaza is.

A Q kizárólag a H definiálásában szerepel, semmi nem utal arra, hogy a sup értelmezési tartománya eltérne az általánostól.

Ha szörszál hasogatóak akarunk lenni, akkor oda kéne írni a feladat elejére, hogy "R felett".

De ennek elhagyását minden hétköznapi irodalom megengedi. Szóval kézenfekvő így tekinteni rá. Plusz így az eredeti feladatnak is van értelme átírás nélkül!