Mely r ∈ R esetén igaz, hogy pontosan egy olyan z ∈ C van, melynek abszolút értéke r, képzetes része −3?

A komplex számod z = a-3i (ha jól értem)

Az abszolútértéke: gyök(a^2 + 9) = r ---> tehát r biztosan nemnegatív!

Ebből: r^2 = a^2 + 9

Ha r = 3 ---> csak a = 0 esetén teljesül, magyarul csak a -3i tartozik hozzá.

Ha r nem= 3, akkor láthatóan a^2 nem 0, így 2 olyan a-d is lesz, ami megfelelő, tehát 2db komplex számod.

Megjegyzés: Ha r nem= 3 ÉS r > 3, akkor lesz 2 db megoldásod.

Ha 0<r<3 ---> akkor nem is lehet megoldani.

Az első válasz természetesen jó, de geometrikusan talán egyszerűbb és intuitívebb a megoldás:

A komplex számsíkon a -3 képzetes részű számok egy egyenest alkotnak (ami szemléletesen vízszintes, -3 magasságban), míg az r abszolút értékűek egy r sugarú, origó középpontú kört alkotnak. Milyen r esetén lesz a körnek és az egyenesnek egy közös pontja? Ha r=3, mert ekkor az egyenes érinti a kört, méghozzá a z=-3i pontban.