Melyik az a legkisebb pozitív szám, amit ötször egymás után írva köbszámot kapunk?

Legyen a keresett szám n.

Ha egyjegyű, akkor 5 ször egymásután írva az eredmény n*11111. Az 11111 törzstényezős felbontása 41*271. És akkor már csak az a kérdés, hogy létezik-e olyan egyjegyű szám, aminek a törzstényezős felbontásában köbös tényezők mellett 41^4*271^4 is szerepel. Mondjuk, hogy nincs. :-)

Ha n kétjegyű, akkor n*1010101010=n*41*271*9091.

Ha n három jegyű, akkor n*100100100100100=n*31*41*271*2906161.

És így tovább, amíg a világ számítási kapacitása el nem fogy vagy nem találunk olyan 100... számot, amiben elég sok prímtényező van a hármas kitevőn ahhoz, hogy egy pont megfelelő hosszúságú számmal teljes köbbé ki lehessen egészíteni.

Ez az általános megoldás. Szerintem. :-)

Helyesen

"... 41^2*271^2 is szerepel..."

Nincs megoldása.

Ha ezt az ötszörözött-n számot osztjuk n-nel, akkor a kapott szám (11111, 101010101, 1001001001001, ... <<nincsenek nullák a végükön>>) - m^4+m^3+m^2+m+1, ahol m 10-hatvány, - négyzetmentes lesz, vagyis a négyzetével kellene szorozni, hogy köbszám legyen, tehát a szorzó kb. 10-szer hosszabb lenne, mint az n maga.

#5

"nincsenek nullák a végükön"

Igaz. Elsőre azt gondoltam, hogy vannak. De aztán én is rájöttem, hogy nincsnek, csak aztán a rossz felirás maradt meg a kommentben.

41*271*9091=101010101

31*41*271*2906161=1001001001001

#5

Azt honnan lehet tudni, hogy m^4+m^3+m^2+m+1 (ahol m 10-hatvány) mindig négyzetmentes lesz?