Honnan ered a matematika?

Nos én úgy gondolom, hogy ammenyiben nem egy csalódémon basz át minket, vagy a googolok (googlszor okosabb felsőbbrendű lények, nem biztos, hogy így írják, de érthető), hogy jót röhögjenek rajtunk, akkor belátható, hogy - objektív - szükségszerű a priori analitikus tudás. Tehát nem mesterséges, hanem felfedezés, ahogy egy állatfajt sem mi találunk ki, hanem csak elnevezzük, hogy lehessen rá utalni, hivatkozni.

Szükségszerű, mivel minden lehetséges világban így kell lennie, bár ez kissé platonikus hozzáállás.

A priori, mivel nem szükséges hozzá érzéki tapasztalat, felfogható anélkül is, hogy 1+1=2, hogy meg kellene mindig számolni az 1-et és 1-et, hogy az 2.

Illetve analitikus, mivel nem mi hozzuk létre, de persze ez vitatható, de Kant óta ez kinda konszenzusnak tekintik legjobb tudomáson szerint.

Én magam is így vagyok vele, hogy egy igen szép eszköz, ami segít minden tudománynak. De Isten nyelvének nevezni talán túlzás, no nem azért, mert blaszfémia, csupán mert azért megvannak az elméleti korlátjai, ami nehezen egyeztethető össze az isteni tökéletességekkel, bár én magam nem vagyok matematikus, sem vallásfilozófus, csupán egy BA filozófia hallgató az SZTE-n. :D

Pedig az alapjai simán "természeti megfigyelések". Az 1+1=2 és társai.

A matematikánk szépen lassan alakult, egy alulról építkező axióma rendszerrel. Anélkül, hogy ez kezdetben tudatos lett volna. Az összeadásból gyorsan jön a szorzás, annak fordítottja - az osztás - meg kényszerűen magával hozta a törteket, akárcsak a kivonás a negatív számokat.

> Nem a természetet megfigyelve alakult ki

Pedig de. A matematika absztrakció. Bizonyos tulajdonságoktól elvonatkoztatva valamilyen vizsgálódási szempontból releváns tulajdonságokkal foglalkozunk csak. A történelem előtti korban is rájöttünk (sőt bizonyos állatok is képesek ennek a belátására), hogy vannak egymástól független jelenségek, amik adott tulajdonságok alapján ugyanolyan szabályok szerint működnek. Ha elvonatkoztatunk attól, hogy almákról, birkákról, emberekről vagy kavicsokról van-e szó – ezek mindenféle tulajdonságaitól, mint pl. szín, méret, alak stb… –, a mennyiségek ugyanúgy viselkednek, ugyanúgy kell ezeket összeadni, kivonni, elosztani, stb…

Mikor a hétköznapokban, vagy mikor természettudományos céllal használjuk a matematikát, akkor a valós jelenségekből egy matematikai absztrakcióba lépünk, ott vonunk le bizonyos következtetéseket, ott végzünk műveleteket, majd az ott kapott eredményt vetítjük vissza a valós világra:

Valós probléma: 🍎🍎🍎🍎🍎🍎 → 👦👩

Absztrakt probléma: 6/2

Absztrakt megoldás: 3

Valós megoldás: 🍎🍎🍎 → 👦 | 🍎🍎🍎 → 👩

Innen *ered* a matematika.

~ ~ ~

És itt eljutunk addig, hogy ezt az elvonatkoztatást (azaz a matematikát) vizsgálva olyan belső összefüggéseket találunk, amire már nem biztos, hogy tudunk valós tartalmat is társítani, de végül amit ezen összefüggések nyomán kapunk, azt visszavetítve a valóságra helytállónak találjuk.

Fejlemény volt az is, hogy megpróbáltuk megtalálni, hogy a matematika egy-egy területén mik az alapvető kiinduló állítások (axiómák), amikből minden más összefüggés is levezethető. És itt jött a matematika első nagy töréspontja. Az euklideszi axiómák eléggé maguktól értődők. Pl. ilyenek vannak benne, hogy a ugyanazon dolgok kétszeresei egyenlőek egymással. Vagy hogy az egész nagyobb, mint annak a része. Vagy hogy a posztulátumokból is hozzak példát: bármely középponttal és sugárral lehessen kört rajzolni. De volt egy, ami valahogy bonyolultabb is, kevésbé magától értődő is, mint a többi: „ha egy egyenes úgy metsz két másikat, hogy az egyoldalon fekvő belső szögek összege két derékszögnél kisebb, akkor a két másik egyenes találkozzon egymással, ha végtelenül meghosszabbítjuk őket, éspedig azon az oldalon, ahol a szögek összege kisebb két derékszögnél”…

Megpróbálták ezt levezetni a többi axiómából. Nem sikerült. Megpróbálták egy ekvivalens, de magától értődőbb és/vagy egyszerűbb axiómára cserélni. Részben sikerült, ma inkább szeretjük azt mondani, hogy „egy egyeneshez egy külső ponton át egyetlen párhuzamos húzható”, vagy azt, hogy „a háromszög belső szögeinek összege két derékszöggel egyenlő”. Ez érthetőbb, egyszerűbb, de még így sem kellően magától értődő.

Itt jött az ötlet, hogy helyettesítsük be az axióma helyére egy vele össze nem egyeztethető állítást, és lássuk be, hogy úgy ellentmondásra jutunk, így indirekt módon igazoljuk az eredeti állítás helyességét. Pl. tegyük fel, hogy egy egyeneshez egy külső ponton át egy párhuzamos sem húzható. Vagy hogy több párhuzamos is húzható…

És jött a meglepő fordulat, ezek sem vezetnek ellentmondásra, ugyanolyan konzisztens, teljes rendszert alkotnak, mint az eredeti euklideszi geometria (nemeuklideszi geometriák). A matematika eszközeivel eldönthetetlen, hogy melyik geometria a „helyes”. Kiderült, hogy nem minden matematika a mi valós világunkat írja le. A fizikára hárult a feladat, hogy kiderítse, hogy melyik geometria az, ami a helyes absztrakciója a fizikai világnak, és bár sokáig az euklideszi tűnt a befutónak, kiderült, hogy nem az.

Nota bene, amíg az volt a tapasztalat, hogy az euklideszi geometria írja le helyesen a világot, azt használtuk a világ leírására. És azt használjuk a hétköznapi történéseknél, mert arra teljesen alkalmas. A nemeuklideszi geometria meg megmaradt valami érdekes dolognak, amit nem használunk a világ leírására. Onnan kezdtük el használni, mikor kiderült, hogy az írja le jól a világot.

Szóval a kérdés, hogy miért íja le a matematika jól a világot, kicsit olyan, mintha egy kereszthornyú csavar becsavarásához nem egy egyhornyú, nem is torx csavarhúzót veszünk elő, de nem is egy villáskulcsot vagy egy imbuszkulcsot, hanem egy „csillagfejű” csavarhúzót, aztán meglepődünk, hogy mennyire alkalmas szerszám ez a kereszthornyú csavar becsavarására.

~ ~ ~

És igen, innentől lehet azt mondani, hogy a matematika lehet az emberi agy szüleménye. De ettől még az, amiből eredt, az a megfigyelt természet tulajdonságainak és a történések absztrakciója. És ettől még annak a matematikának a művelésére teszünk nagyobb erőfeszítést, ami alkalmazható valamilyen valós probléma megoldására.

Talán egyenként is érdemes itt felosztani a kérdés részeit. És ezek most csak nagyon vázlatosan illetve röviden és nagyjából ahogy a régészet és történészet ezt tanulámnyozza.

- "Honnan ered a matematika?"

Elsőként megkülönböztethető két része a matematikának. 1. Az írott korszak feljegyzései és ezek többnyire komplexebb társadalmak matematikái, mint például gabona nyilvántartások. 2. A második része egy érdekes és nehezebben kutatható terület, de foglalkoznak azzal is és ez a matematika azon alapvető része, ami a legegyszerűbb számolásokról szól. Úgy tűnik, hogy egyszerű számsorokat és mennyiségeket már a paleolitban is ismertek, az meg egy nagyon másik időtávba tolja a számtant.

- "Nem a természetet megfigyelve alakult ki"

A kialakulását természetesen biztosan nem tudjuk, mert nincs róla írás. Másik az lenne, hogy a természetet megfigyelve a darabszámok elég alapvetően megfigyelhetőek, de kapcsolódik hozzá az intelligencia is, ahogy azt fel is kell fogni. Vagyis ez mindkettő együtt, a természet megfigyelés és az intelligencia együttese.

- "de mégis leírja a világot."

Teljesen nem írja le, hanem csak egy bizonyos módon és bizonyos szegmensét írja le, bizonyos összetevőjét írja le és összességében a matematika a természetet csak bizonyos jelleggel írja le és nem mindenben. Például aki még nem kóstolt narancsot, annak aztán mondhatsz bármilyen bonyolult matematikai képlet sorokat, nem fogja tudni, hogy milyen ízű a narancs.

- "Az emberi elme szüleménye"

No komment. Ez nyilvánvaló.

- "és egyszerűen csak így vagyunk képesek felfogni mi-hogy működik"

Ez inkább egy a mai modern elképzelést mutatja és ma sem csak a matematika miatt tudjuk, hogy mi hogyan működik, mert az kevés hozzá, bár hozzájárul.

- "vagy pedig a természet működésének legmélyebb struktúrája?"

Erre már volt válaszunk, vagyis teljesen nem írja le és így a legmélyebb struktúrájához is legfeljebb kapcsolódik.

És a fő kérdéshez egy publikáció, bár vannak még ilyenek.

National Library of Medicine

"Közvetlen bizonyítékok a neandervölgyi rosttechnológiára és annak kognitív és viselkedési vonatkozásaira"

"Absztrakt

A neandervölgyieket gyakran tekintik kevésbé fejlett technológiailag a modern emberekhez képest. A paleolitikum lelőhelyein azonban jellemzően csak állatmaradványokat vagy kőeszközöket találunk. A romlandó anyagok, amelyek az anyagi kultúra tárgyainak túlnyomó többségét teszik ki, jellemzően hiányoznak. Az Abri du Maras kőeszközein talált egyedi csavart szálak a neandervölgyiek zsinórgyártásának hipotéziséhez vezettek a múltban, de erre hiányoztak a meggyőző bizonyítékok. Itt a szálas technológia közvetlen bizonyítékát mutatjuk be egy háromrétegű zsinórtöredék formájában, amely belső kéregrostokból készült egy kőeszközön, amelyet ugyanazon a lelőhelyen in situ találtak. A csavart szálak képezik a ruházat, kötél, táskák, hálók, szőnyegek, csónakok stb. alapját, amelyek felfedezésük után a mindennapi élet nélkülözhetetlen részévé váltak. A csavart szálak megértése és használata összetett, többkomponensű technológia alkalmazását, valamint a párok, halmazok és számok matematikai megértését vonja maga után. A nyírfakéreg-kátrány, a művészet és a kagylógyöngyök legújabb bizonyítékaival kiegészítve az az elképzelés, hogy a neandervölgyiek kognitívan alacsonyabb rendűek voltak a modern embereknél, egyre tarthatatlanabbá válik."

[link]

Hogy beszélünk egymással, az az emberi elme szüleménye? Igen.

Hogy a kutyák beszélnek egymással, az a kutyaelme szüleménye? Igen. És az ember is vizsgálja.

Adott a természet, azaz a való világ, benne az ember. A természet az embert olyan tulajdonságokkal ruházta fel, hogy gondolkodni képes, azaz megfigyeléseit, tapasztalatait elemezni tudja, és következtetéseket von le belőlük. Ez a mechanizmus egy fejlődés eredménye. Az ember ennek bizonyos pontján képes lett az absztrakcióra, és megalkotta a nyelvet, mert késztetést érzett más emberekkel való kommunikációra. Ez persze egy hosszadalmas folyamat volt. A természet jelenségeit megfigyelve, erről szeretett volna beszélni másokkal. Ezért kénytelen volt bizonyos absztrakcióra, hogy ne kelljen túl hosszadalmasnak lennie (öt narancs meg 8 narancs) elhagyta a tölteléket.

A fejlődés lehetővé tette egyre bonyolultabb dolgok leírását ezen a nyelven. A matematika nem egyéb, mint a természet nyelve.

Azonban minden dolognak van önálló élete, fejlődése, így a matematikának is. Szép lassan rendszer lett szabályai, amelyeket a természet leírásához való pontosság szabályozott. Ezt (mivel addig a dolgok elhelyezkedése volt a legfontosabb) először Euklidész rendszerezte a geometria című művében.

Abból indult ki, hogy vannak dolgok, amelyeket minden érdeklődő ember ugyanolyannak ért, lát, gondol. Ezek lettek az a priori, nyilvánvaló, magától értetődő dolgok, azaz axiómák. Euklídész érdeme, hogy úgy gondolta, ilyenekből a való világ minden jelensége levezethető, úgynevezett tételek segítségével. Ezeket már logikailag bizonyítani kell e nyilvánvaló dolgokból, axiómákból levezetve. A tudományos világ ezt az elvet tekintette ezután a tudomány alapvetésének. Minden állítás bizonyítandó valamely alapvető dolgokból levezetve. Minden állításnak illeszkednie kel a korábbiakhoz, azaz a rendszernek ellentmondásmentesnek kell lennie.

A matematika tehát egy emberi alkotás, abból a célból, hogy általa a természet (a való világ) tulajdonságait és jelenségeit az ember megvitathassa egymással. Azaz a természet nyelve. Ahogy a magyar nyelv a magyar emberek nyelve.

Később egy székely magyar matematikus (a 19. században) vizsgálni kezdte, hogy minden axióma (minden nyilvánvaló dolog) valóban ilyen-e. A geometria V. axiómája keltette fel érdeklődését, azaz a párhuzamossági axióma. Úgy gondolta (és apja egy munkájának appendixeként - függelékeként le is írta), hogy a párhuzamossági axióma nem magától értetődő, van más eset is. Le is vezette. Ezzel a matematikában egy új fejezetet nyitott, (a kor legnagyobbnak tartott matematikusa, Gauss egyébként nm értette meg) és sokan ennek nyomán kezdték ezt az axiómát boncolgatni, így született meg a nem euklídeszi geometria. Súlyának megértéséhez: nélküle nincs magfizika, Einstein nem alkothatta volna meg a a relativitáselméletet, és számos más modern eredmény mind ezeken az ismereteken alapszik. A matematika azóta is töretlenül fejlődik, hol a természet új típusú megismerését eredményezi, hol valami új tudományos ismeret ad lökést a matematika fejlődésének. Egyi ilyen volt, mikor Mandelbrot a természeti szimmetriákat vizsgálva, megalkotta a Mandelbrot halmazt, ezek nyomán jött létre a fraktálgeometria, amely viszont a kvantumfizikának (és ki tudja, még minek) adott új lökést.

"A matematikánk szépen lassan alakult, egy alulról építkező axióma rendszerrel. Anélkül, hogy ez kezdetben tudatos lett volna"

Dehogy épült... A matematika évezredeken át nem volt axiomatizált.