Mekkora a húrtrapéz átlóinak hossza, ha alapjai 4m és 6m, szára 5m?

Ha egy húrnégyszög oldalai ilyen sorrendben a, b, c, d, valamint a két átlója e és f, akkor

a*c + b*d = e*f (Ptolemaiosz tétele).

Trapéz esetén szimmetrikus a négyszög, ezért e = f.

4*6 + 5*5 = e*e, amiből e = 7.

De ez kicsit "ágyúval lövünk verébre" megoldás, van egyszerűbb is.

Húzd be a rövidebbik alap két végpontjában levő magasságát a trapéznak, ekkor keletkezik két kis háromszög és egy téglalap. A kis háromszögek derékszögűek, a szimmetria miatt mindkettő befogója 1m hosszú, az átfogója pedig a trapéz szára, ami 5.

Pitagoraszt tételből ki lehet számolni a másik befogóját (jelöljük ezt m-mel), ami a trapéz magassága lesz: m*m + 1*1 = 5*5, amiből m*m = 24.

Ha ez megvan, húzd be a trapéz egyik átlóját (jelöljük ezt x-szel) - ekkor lesz egy olyan derékszögű háromszöged, aminek ez az átfogója, a két befogóját pedig ismered (m és 1 + 4). Pitagorasz tételből:

m*m + 5*5 = x*x

de m*m = 24, így 49 = x*x, ahonnan x = 7.

Off

Kedves utolsó válaszoló!

Ha a te favágó módszered neked egyszerűbb, lelked rajta, csak számolj (és hibázz) nyugodtan.

Nem kötelező ismerni a Ptolemaiosz tételt, de azt állítani, hogy ennél jobb a megoldásod, egyszerűen nevetséges. Inkább barátkozz meg a fenti tétellel, sokszor lehet alkalmazni.

Mindkét választ én írtam!

Lehet, hogy kicsit pontatlanul fogalmaztam, amikor azt mondtam, hogy egyszerűbb. Ezalatt azt értettem, hogy kevesebb ismeret kell hozzá.

A második megoldáshoz csak a Pitagoraszt tétel kell, ami az én időmben még 8. osztályos anyag volt, a Ptolemaiosz tételt pedig csak gimnáziumban tanultuk.

Úgy kell neked, miért nem pontosítottad a második válasz indokait. :-)

A kérdésből nem derült ki, milyen szinten tudhatja a kérdező a matekot.

Ettől függetlenül szerintem a Ptolemaiosz tétel egy rakás Pithagorász tételt alkalmazó megoldás mellett egyszerűsége miatt inkább csúzlinak nevezhető, mint ágyúnak.

Amúgy a Ptolemaiosz tétel bizonyítása az egyik kedvencem. :-)