Ha a térfogatot (V) köbméterben, a hőmérsékletet kelvinben adjuk meg, ezeket elosztva a nyomás milyen mértékegységet kap?

Gondolom a gáztörvényeket gyakorlod. Ez esetben:

p*V=n*R*T

p=(n*R*T)/V

p=([mol]*[J/mol*K]*[K])/[m^3]

p=[J/m^3]

p=[Pa]

Ha a térfogat m³, a hőmérséklet K, az anyagmennyiség mol, R pedig J/mol·K, akkor a nyomás Pa. Ez az alapeset.

De nem V/T se nem T/V a nyomás, hanem n·R·T/V

n = 5 mol

V₁ = 2 dm³

T₁ a kérdés

- Kezdetben: p₁, V₁, T₁

p₁·V₁/T₁ = n·R = 5·8,314 J/K

p₁·2/T₁ = 41,57

Nem muszáj a térfogatot m³-be átváltani, maradhat dm³ is. A nyomás egyébként ilyenkor kPa, hisz a m³ az ezerszerese a dm³-nek (p·V mértékegysége Pa·m³ = 1000 Pa·(m³/1000) = kPa·dm³), de mindegy, nem kérdezi a feladat p₁-et.

A végén majd ez lesz a megoldás: T₁ = 2p₁/41,57

- Első szakasz: Összenyomás után: p₂, V₁/2, T₁

p₂·(V₁/2)/T₁ = n·R

p₂·1/T₁ = 41,57

Ami azt jelenti, hogy p₂ = 2p₁

- Második szakasz: Tágulás után: p₂, V₁, 300 K

(2p₁)·V₁/300 = n·R

2p₁·2/300 = 41,57

2p₁ = 150·41,57

Akkor pedig T₁ = 2p₁/41,57 = 150 K

A harmadik szakaszban visszaalakult minden a kezdeti állapotra, azt fel se kellett írni.

Valójában az 5 mol-ra nem is lett volna szükség, a 41,57 helyett maradhatott volna az n·R is, hisz látjuk, hogy kiesett. Az 5 mol csak akkor kell, ha kérdezik a p₁-et is.

> Mennyivel változik a folyamatban a gáz belső energiája,

Mivel a belső energia ideális gázoknál azonos gázmennyiség esetén csak a hőmérséklettől függ, nem változik meg. A folyamat végén ugyanakkora, mint kezdetben.

Nem kérdezték, hogy mennyi ez a belső energia, de f/2·n·R·T, ahol f a szabadsági fok. A nitrogén kétatomos gáz, annak a szabadsági foka 5 (az egyatomos ideális gázoké 3)

> mekkora munkát végzett,

Ha csak az a kérdés, hogy a gáz mennyi munkát végzett, az egyszerű (csak a második szakaszban végez munkát). Ha az is, hogy a környezet mennyi munkát végzett a gázon, az már bonyolultabb.

Ha olyan diagramon ábrázoljuk a körfolyamatot, aminek a vízszintes tengelye a térfogat, függőleges meg a nyomás, akkor a körfolyamat görbéje által bezárt terület lesz a teljes folyamat során a végzett munka eredője.

Most az első szakasz izoterm (állandó hőmérsékletű). A gázt összenyomjuk, vagyis a környezet végez munkát a gázon, az a munka ennyi:

ΔW₁ = nRT·ln(p₂/p₁) = nRT·ln(2)

A második szakaszban állandó nyomáson változik a térfogat, megnő, a gáz végez munkát, ennyit:

ΔW₂ = p₂·ΔV = p₂·(V - V/2) = p₂·V/2

(ezt egyébként negatív előjelűnek szokták venni, de én azt nem nagyon szeretem...)

A harmadik szakaszban nem változik a térfogat, olyankor nincs munkavégzés.

A teljes körfolyamat eredő munkája a fenti kettőnek a különbsége.

> mennyi hőt adott le a gáz az egyes szakaszokon?

Ha tényleg csak az a kérdés, hogy mennyit adott le, akkor csak az első és harmadik szakaszt kell számolni. Ha az is, hogy mennyit vett fel, akkor a másodikat is.

Az első szakasz izoterm, a gáz belső energiája nem változik, ΔU₁ = 0. Ebben a példában ekkor a környezet végez a gázon munkát, tehát a belső energiája csak úgy maradhat változatlan, ha a gáz lead pont ugyanannyi hőt:

-ΔQ₁ = ΔW₁ = nRT·ln(2)

A második szakasz izobár (állandó nyomású), eközben most a gáz kitágul, munkát végez. Bizonyára melegítettük, mert a hőmérséklete nő, vagyis a belső energiája is nő. A belső energiájának a változása megegyezik a kapott hővel plusz a rajta végzett munkával. Mivel most a gáz végzett munkát, ezért azt ki kell vonni (legalábbis akkor, ha pozitív, ahogy én számotlam fentebb):

ΔU₂ = ΔQ₂ - ΔW₂

ΔQ₂ = ΔU₂ + ΔW₂ = 5/2·n·R·(300-T₁) + p₂·V/2

Ez kapott hő, nem adott le semmit.

A harmadik szakasz izochor (állandó térfogatú), tehát nincs térfogati munka. A gáz hőmérséklete, tehát a belső energiája is lecsökkent. A teljes belső energia változás megegyezik a leadott hővel:

ΔU₃ = ΔQ₃

ΔQ₃ = 5/2·n·R·(T₁ - 300)

(ez negatív lesz...)

Közben rájöttem, hogy a második és harmadik szakaszon a hőt lehet a hőkapacitással (fajhővel) is számolni a belső energia helyett. Az 5/2·n·R·T képlet ideális kétatomos gázok esetén lenne jó, a nitrogén meg nem annyira ideális, viszont tudjuk a fajhőjét. (A fajhőből 2,39-es szorzó jönne ki az előző képletben az 5/2 = 2,5 helyett...)

A második szakasz izobár (állandó nyomású):

ΔQ₂ = Cp·ΔT₂

ΔQ₂ = cp·n·ΔT₂

ahol cp az állandó nyomású moláris hőkapacitás (mólhő), nitrogén esetén cp = 29,12 J/mol·K

a hőmérsékletváltozás pedig ΔT₂ = 300-T₁

Ennyi hőt kapott.

A harmadik szakasz izochor (állandó térfogatú):

ΔQ₃ = Cv·ΔT₃

ΔQ₃ = cv·n·ΔT₃

ahol cv az állandó térfogatú moláris hőkapacitás (mólhő), nitrogén esetén cv = 20,8 J/mol·K

a hőmérsékletváltozás pedig ΔT₃ = T₁-300 (negatív)

Ennyi a leadott hő.

=nRT·(ln⁡(V₂) - ln⁡(V₁) ) = nRT·ln(V₂/V₁)

mivel p₁·V₁ = p₂·V₂ izoterm esetben

ezért V₂/V₁ = p₁/p₂

és máris ugyanaz, mint amit én írtam.

Egyébként az nRT·ln(p₁/p₂) képlet talán még a függvénytáblában is benne van... nem tudom most megnézni... de eléggé ismert képlet.

---

A speciális kódokat úgy írom, hogy csináltam hozzá billentyűzetkiosztást. Fel kell telepíteni a Windows-ra és tud egy csomó matekos írásjelet, görög betűt, stb.

Ha ki akarod próbálni, innen töltheted le:

[link]

Ha magyar billentyűzeted van, ezek a file-ok kellenek:

HunMat12.pdf - leírás a kiosztásról

HunMat12.zip - ebben van az installáláshoz szükséges összes file

Ha amerikai billentyűzeted van, akkor a HunEng12.zip valamint HunEng12.pdf kellenek.