Miért van ez számok eloszlásánál?

Legyen egy tetszőleges eloszlású ξ valószínűségi változó, aminek az eloszlásfüggvénye F(x) = P(ξ < x)

Nem igazán tetszőleges az eloszlás: F-nek szigorúan monoton növekvőnek és folytonosnak kell lennie. Ez kell ahhoz, hogy F-nek legyen "normális" inverz függvénye, nevezzük G-nek.

F értékkészlete a [0;1] intervallum, ez G értelmezési tartománya. G értékkészlete viszont -∞ .. +∞ is lehet.

G is szigorúan monoton növekvő és folytonos.

Ha F(x) = y, akkor G(y) = x.

Ha pedig F(x) < y, akkor G(y) > x.

Illetve ha G(y) < x, akkor F(x) > y.

Ez az utolsó két egyenlőtlenség fontos lesz!

Enyit az inverz függvényről. Amit eredetileg kérdeztél:

- Ha egy egyenletes eloszlású ψ valószínűségi változó értékeit átkonvertálom a fenti G függvénnyel, akkor ξ eloszlását, F-et kapom.

Nézzük, miért.

Mi lesz ennek a konvertált változónak, vagyis ζ = G(ψ)-nek az eloszlásfüggvénye? Vagyis mennyi a P(ζ<x) valószínűség?

P( ζ < x) = P( G(ψ) < x ) = P( F(x) > ψ ) = P( ψ < F(x) ) = F(x)

A középső lépés a fenti utolsó egyenlőtlenségből jött.

Az utolsó lépés pedig azért igaz, mert ψ egyenletes eloszlású, ezért P(ψ < z) = z, ha 0 < z < 1

Vagyis ζ eloszlásfüggvénye éppen F, amit bizonyítani akartunk.

---

Amit írtál, annak a fordítottja is igaz, nézzük azt is:

- Ha a ξ valószínűségi változó értékeit átkonvertálom a saját maga F függvényével, akkor egyenletes eloszlást kapok!

Nézzük, mi ψ = F(ξ) eloszlásfüggvénye?

P( ψ < y ) = ?

Hát egyrészt y<0 esetén nulla, y>1 esetén pedig 1, mert ψ=F(x) csak [0,1]-en van értelmezve.

Közte pedig, ha 0 < y < 1:

P(ψ < y) = P( F(ξ) < y ) = P( G(y) > ξ ) = P( ξ < G(y) ) = F(G(y)) az első sorban írtak miatt.

És mivel G éppen F inverze, ezért F(G(y)) = y

Vagyis mivel az y=(0,1) tartományban P(ψ<y) = y, ezért tényleg egyenletes az eloszlása ψ-nek.

Kis segítség az értelmezéshez:

Esetedben ξ exponenciális eloszlású, vagyis

  F(x) = 1 - e^(-λx)

Vezessük le ennek az inverz függvényét:

  y = 1 - e^(-λx)

  e^(-λx) = 1-y

  x = ln(1-y)/(-λ)

vagyis

  G(y) = ln(1-y)/(-λ)

Ezzel átkonvertálva az egyenletes random számot (amit ψ-vel jelöltem) egy ζ-val jelölt eloszlást kapunk, amiről a #5-ös levezetés bebizonyítja, hogy megegyezik ξ-vel, vagyis λ paraméterű exponenciális eloszlás.

Te csak az ln-t mondtad, 1-ből való kivonást nem. De mivel y egyenletes eloszlású lesz, 1-y ugyancsak egyenletes eloszlású. Mindegy, hogy a véletlenszámgenerátorból kijövő számot (ami 0..1 intervallumban jön) kivonjuk-e 1-ből, vagy nem, mindkettő ugyanolyan random szám. Vagyis vehetjük ezt a fűggvényt is:

  G'(y) = ln(y)/(-λ)

Ez is λ paraméterű exponenciális eloszlást generál az egyenletesből.

ln(y) pedig 1 paraméterű exponenciális eloszlás negáltja (hisz az ln értéke negatív lesz).