Mekkora az ugrás folyamán a legnagyobb sebessége, ha az ugrótorony 30 méter magas, az ugró személy testmagassága 1,7 m és az ugrás végén a feje 10 méterre van a talajtól?

Ezt ennyiből nem lehet megválaszolni, legalább a kötél nyugalmi hosszát ismernünk kéne még. Egy olyan kötéllel, ami sokáig enged, és a végén nagyot ránt, magasabb lesz a csúcssebesség, mint egy rövidebb nyugalmi hosszúságú és alacsonyabb rugóállandójú kötéllel.

Ebben a feladatban háromféle energia összege állandó.

1. helyzeti energia (a nullszintet egyszerűség kedvéért 10 méter magasságban húzzuk meg)

2. mozgási energia

3. a kötélben tárolt rugalmas energia.

A rendszer teljes energiája m*g*20m, azaz a helyzeti energia az ugrás kezdetén. A 20m helyett gondolom a feladatban 18,3-at kéne használnod az 1,7 méter magas személy miatt, de az olvashatóság kedvéért engedd meg, hogy 20-szal folytassam. A mértékegységet is elhagyom a 20 után innentől.

Adott h magasságban a háromféle energia:

Helyzeti: m*g*h

Rugalmas: Ha h > 20-l akkor 0 (a kötél laza), egyébként k*(20-l-h)^2, ahol l a kötél nyugalmi hossza, k pedig egy pontosan akkora állandó, hogy h=0 esetén a kifejezés értéke m*g*20 legyen, hiszen a legalacsonyabb ponton minden energiát a kötél tárol. Ebből amúgy k = m*g*20/(20-l)^2 jön ki.

A számunkra érdekes mozgási energia pedig a teljes m*g*20-hoz viszonyított maradék, azaz h > 20-l esetén m*g*(20-h), azalatt pedig m*g*(20-h) - k*(20-l-h)^2. Ennek a maximumát keresed, és az értéket 1/2*m*v^2 alapján sebességgé alakíthatod. Mivel l-t nem adta meg a feladat, nem tudod kiszámolni, de nyugodtan választhatsz egy értéket, és beadhatod úgy a feladatot. Nekem amúgy az a gyanúm, hogy l=0-val gondolja a feladat kiírója, azaz a rugó a kiugrás pillanatától fogva, egyből, lineárisan fejt ki erőt.

Csináltam egy grafikont is. X-tengelyen a magasság, y-tengelyen a háromféle energiája megoszlása. 10 méter hosszú nyugalmi állapotú kötéllel számoltam.

[link]