Bernoulli egyenlőtlenségnél hogy lehet meghatározni azt a h valós számot, melyre minden n természetes szám esetén fent áll az egyenlőtlenség?

A helyzet az, hogy ilyen becslő egyenlőségek nem véletlenül becslők, de valójában pont ettől lesznek szépek.

Amikor felírod a binomiális sort, na az abban megjelenő további tagok összege alapján lehet meghatározni, de ez gyakorlatilag egy kiszámíthatatlan érték, főleg általános n-re.

Az egyenlőséget írhatnánk úgy is, hogy:

(1+h)^n = 1+nh+H,

ahol H egy úgynevezett hibatag, ami pont a binomilás-sor további tagjainak összegeként adódna. És amit ugye kérdezel, be lehet látni, hogy létezik olyan p>=h, amire:

(1+h)^n =1+np.

Ennek alapján nyílvánvalóan p=h+H/n, azaz p értékét a hibatag ismeretében számolhatjuk.

Megjegyzem, a H hibatagra lehet adni becslést, de ezzel is csak közelíteni tudnánk p értékét, pontosan kiszámítani nem tudjuk, általános n-re. (Formálisan persze felírható, de abba nincs köszönet...)