Meddig tart az elemi matematika és hol kezdődik a felsőbb matematika?

Az elemi matematika az amit általános- és középiskolában tanítanak, egy kellemes bemutatkozása a matematikának. Sok dologba (túl sok, szerintem) kóstolsz bele mindenfajta szigorú alapozás nélkül.

Felsőbb matematika az talán a határértékszámítással kezdődik, a halmazelmélet, formális logika elengedhetetlen hogy valódi matematikáról legyen szó és tulajdonképpen minden ami formális nyelven van leírva az felsőbb matematika. Más szint nincs.

Így nézzd: ezt tanulod elsőben: "egy meg egy az kettő". Később felmerülnek ilyen kérdések: mi az hogy "egy"? mi az hogy "meg"? mi az a "kettő"? Ha itt valamit bizonyítunk, mi az a "bizonyítás"?

Nincs olyan hogy elemi matematika. Matematika van, de ha nagyon ragaszkodunk az elemi szóhoz, akkor valóban azt jelentené, amit az ember gimnázium utolsó évéig tanul, meg amit a BGF-en. imnáziumban az ember a felső matematikának az eredményeit tanulja. Minden felső matematikából vezethető le.

Például tanulja az ember más elég hamar, hogy minden egész szám felbontható prímtényezők szorzatára. Ez így elég egyszerűen hangzik, de a dolog mögött az bújik meg, hogy minden véges kommutatív csoport felbontható prímhatványrendű ciklikus csoportok direkt-szorzatára.

Nincs más szint.

Az elemi matematika kifejezés ma már sokat veszített az értelméből, így nincs éles határ elemi és felsőbb matematika között. Azt nem mondom, hogy ezek nem létező fogalmak, de nagyon nehéz szétválasztani őket, mert attól függ a határ, hogy mik a szándékaink.

Leegyszerűsítve azt lehet mondani, hogy elemi matematika minden, ahol nem használnak határérték-, differenciál- és integrálszámítást, vagyis az ún. filozófiai "aktuális végtelen" fogalma nincs rejtetten benne a fogalmakban.

Felsőbb matematika pedig, ahol már határértékek, differenciálok és integrálok is vannak.

De ez elég elavultnak tekinthető definíció, és vannak szerzők, akik másképp határozzák meg.