Jó a bizonyítás?

> Tegyük fel, hogy a-nak az m-edik tizedesjegyéig minden tizedesjegye 0, illetve ugyanígy A-nak az n-edik tizedesjegyéig minden tizedesjegye 0.”

Ez a mondat valahogy sok sebből vérzik. Ezzel a feltevéssel elég kevés számra igazolod az állítást.

> „Egyfelől azt, hogy két racionális szám között, másfelől pedig, hogy egy racionális és egy irracionális szám között van racionális szám, ezzel pedig a bizonyítást befejeztük.”

És mi van a két irracionális szám esetével?

Kicsit túlbonyolítod a bizonyítás; ha a és b racionális, akkor átlaguk is, ez ennyi.

Ha a irracionális, b racionális és a<b, akkor toljuk el az intervallumot b-vel, ekkor az (a-b;0) intervallumot kapjuk. Tegyük fel, hogy a keresett racionális szám 1/n alakú, ekkor

a-b<1/n<0, erre

n<1/(a-b)<0, értelemszerűen 1/(a-b) egy irracionális szám, az meg biztos, hogy ennél van kisebb racionális, például n={1/(b-a)}-1, ahol [1/(b-a)] a tört alsó egészrészét jelöli. Értelemszerűen ekkor az (a;b) intervallumban az {1/(b-a}-1+b racionális lesz.

Ha a racionális és b irracionális, akkor a-val toljuk el az intervallumot, a többi ugyanúgy megy, mint az előbb.

Ha mindkettő irracionális, akkor szabad a vásár; valamelyikkel eltoljuk, és az előbbi esetek valamelyikét kapjuk.

Szerintem ez jóval egyszerűbb, mint a tizedesjegyek vizsgálata, persze azzal is lehet.

> „Ha mindkettő irracionális, akkor szabad a vásár; valamelyikkel eltoljuk, és az előbbi esetek valamelyikét kapjuk.”

Ő… Ezzel van egy kis gond. Találsz egy racionális számot az (a – b, 0) vagy a (0, b – a) intervallumban, oké. De mikor visszatolod őket, akkor egy irracionális számot kell hozzáadnod a talált racionális számhoz, így az (a, b) intervallumban a talált racionális számod megfelelője már egy irracionális szám lesz.

Hát… Én nekem se az esetszétbontogatás, se a bonyolult fogalmak bevezetése nem tetszik. Én egyszerűen Arkhimédész axiómáját használnám, ami ugye kimondja, hogy bármely valós számnál van nagyobb egész szám.

1/(b – a) pedig ugye valós szám (ráadásul pozitív is, mert b > a), így lesz egy nála nagyobb pozitív egész, jelöljük ezt n-nel:

n > 1/(b – a).

(b – a) pozitív (b > a), így ezzel szorozva az egyenlőtlenség igaz marad, tehát

n*(b – a) = n*b – n*a > 1,

tehát n*b és n*a különbsége egynél nagyobb, így egészen biztosan lesz közöttük egy egész szám. Egy ilyen egész számot m-mel jelölve a következtetésünk számtannyelven úgy írható, hogy

n*a < m < n*b.

Ezt n-nel osztva (amit megtehetünk, mert n pozitív, így az egyenlőtlenségek nem fordulnak meg), azt kapjuk, hogy

a < m/n < b.

Mivel m és n egészek, ezért x = m/n racionális, és a fenti egyenlőtlenségpár éppen azt jelenti, hogy x az (a, b) intervallum eleme, azaz (a, b) mindenképpen tartalmaz egy racionális számot (ha mást nem is, de az x-et biztosan).

#7: "ha mást nem is, de az x-et biztosan"

de ha már x-et tartalmazza, akkor (a,x) is tartalmaz egy racionális x2 számot, és ezt a végtelenségig (megszámlálható) folytathatjuk. +mivel a racionális számok számossága is megszámlálhatóan végtelen, igy ez sem lehet több, tehát pont ugyanannyi.

Én valami olyasmit irtam volna, elég pongyolán fogalmazva, hogy irjuk fel mindkét számot tizedestört alakban, a kisebb:

A,a1a2a3...

Nyilván létezik egy k legkisebb index, ahol a tizedesjegyek különböznek. Ezek után pedig kell létezni egy l indexnek (l>k), ahol a(l) nem 9-es,

Ekkor A,a(1)...a(l-1)9 teljesiti a feltételt.

(Ha végtelen 9-esre végződne a tizedestört alak, akkor azt leirhatjuk végtelen 0-ra végződő alakban is, tegyük ezt)

"Tegyük fel, hogy a-nak az m-edik tizedesjegyéig minden tizedesjegye 0, illetve ugyanígy A-nak az n-edik tizedesjegyéig minden tizedesjegye 0."

Hahaha, tegyük fel, hogy a és b között van racionális szám, készen vagyunk.