Mitől függ a dimenziója?

"Úgy hallottam, hogy a tér dimenziószáma arányos a gravitációval. Igaz ez?"

Nem igaz. Vagy valami ezós/new ages maszlagot sikerült hallanod, vagy azt a húrelméletes elképzelést hallottad, és értetted félre, ami a gravitáció többi alapvető kölcsönhatáshoz képesti gyengeségét magasabb dimenziószámmal magyarázza.

"Mitől függ a dimenzió? Mert az biztos, hogy nem mindenhol állandó."

De, nagyon is állandó. Miből gondolod, hogy nem?

Matematikai értelemben a dimenzió legtöbbször azt a mennyiséget jelenti, ami meghatározza, hogy a tér egy adott pontjának leírásához minimálisan hány független paraméter szükséges. Egy egyenes, vagy egy görbe, legyen véges, vagy végtelen, leírható egyetlen paraméterrel, egy önkényesen kijelölt ponttól való távolsággal. Ezért az egyenes egydimenziós. Ha itt vagy a Föld felszínén, akkor egy pont meghatározásához már két paraméter szükséges, mondjuk egy szélességi és egy hosszúsági kör. Vagy mondjuk egy adott ponttól – pl. Budapesttől – való távolság és az északi irányhoz mért fok. Mondjuk Győr Budapesttől 100 km-re van, az északi irányhoz képest kb. -80 fokra. Ez két paraméter, két szám. Egy gömb felszíne ezért kétdimenziós. A Föld viszont nem csak egy felület, nem mindegy, hogy egy adott ponttal leírt helyen lévő hotelszoba az első, vagy a negyedik emeleten van. Nem mindegy, hogy a Titanic a vízen úszik, vagy a víz fenekén van. Tehát kell egy harmadik paraméter is, a magasság. A tér ezért három dimenziós. Bármelyik pont egyértelműen leírható az univerzumban leírható három koordináta megadásával. De nincs egyik, másik, meg harmadik dimenzió. Hogy hogyan határozod meg a koordináta rendszert, hova teszed az origót, milyen irányban állnak a tengelyek, az teljesen önkényes dolog.

De van egy negyedik paraméter is, nem mindegy, hogy egy randit délre, vagy este nyolcra beszélsz meg. A negyedik paraméter – és a negyedik dimenzió – az idő. Látszólag ez a dimenzió jól meghatározott, míg a térben egy bútor elfektetésével, vagy a koordináta-tengelyek megváltoztatásával a szélességből magasság, a magasságból mélység lesz, addig az idő irányában ilyen jellegű transzformációkat nem szoktunk látni, nem szokott előfordulni, hogy Pista ugyan mostantól fele akkora magasságú, de cserébe kétszer annyi ideig él. A relativitáselmélet mutatott rá, hogy de igen, történnek ilyen transzformációk a sebesség, illetve a gravitáció tükrében.

Van a dimenziónak másfajta jelentése, de a fizikában általában ilyen értelemben beszélünk arról, hogy a világunk, a téridő 3+1 dimenziós, a megfigyelt folyamataink mind ezen belül zajlanak.

Való igaz, hogy minden tömeggel rendelkező tárgy meggörbíti a téridőt maga körül. Kb. úgy képzeld el, mintha a Föld egy labda lenne, és valaki elkezdené gyúrogatni. A távolságok ettől megváltoznak, a háromszög szögeinek összege is megváltozik például, de továbbra is igaz lesz, hogy a felület bármelyik pontja egyértelműen meghatározható két paraméter segítségével, tehát akárhogy is gyúrogatod azt a labdát, az továbbra is kétdimenziós marad.

@3: nem tudom, ennyit még sosem tudtam inni, a kábszi meg rossz.

De tudok jobbat! Mi lenne, ha a világot egy hatalmas, négy térdimenziós Mickey-egér orrlyukának tekintenénk. Az orr nyálkahártyáján élünk, ami a négydimenziós orrjuk felülete, tehát eggyel kevesebb térdimenziója van: pont három! Jé, kijön! Az ősrobbanás meg egy gigantikus tüsszentés volt. Minden összeáll!

A fraktálok esetén a dimenzió egészen más fogalmat takar. Tulajdonképpen nem tér, hanem az alakzat dimenzióját adja meg. A fraktálok nem valós, hanem absztrakt konstrukciók, így bizonyos dolgokat nem lehet rajtuk mérni. A fraktálok dimenziója azt adja meg, hogy egy egységnyi sugarú gömbhöz képest hogyan aránylik pl. egy kétszer akkora sugarú gömbön belüli pontok száma. Ugye egy egyenes esetén kétszer akkora hosszú szakaszról lesz szó, tehát egyenes arányban fog állni. Az egyenes hossza r lesz. Egy sík esetén ez a sugár négyzetével fog arányban állni, azaz A = r²π. Egy test esetén ez a sugár köbével fog arányban állni, V = 4r³π/3. Tehát itt a dimenzió az a szám, amely hatványra kell emelni az r-et. Egy fraktál esetén ez lehet nem egész szám is.

De ez a fajta dimenzió nem értelmezhető a fizikai világra. A fizikai világban nincsenek fraktálok, csak fraktálszerű jelenségek. A matematikai absztrakcióval létrehozott fraktál, ami egy páfrányhoz hasonlít – lásd: [link] –, az csak hasonlít a páfrányhoz. A páfrány szárából további szárak nőnek, abból további levelek. De a levelek erezetében is megismétlődik ez két szintig, de utána vége, egy bizonyos szint után már nem folytatódik a hasonlóság a fraktálhoz, és ez a fontos különbség. A páfrány leveleinek van felülete, míg a matematikai konstrukciónak, a fraktálnak nincs felülete.

> aminek a középpontja végtelen dimenziós

Ez olyan, mint a szögletes üveggolyó, vagy a fából vaskarika, vagy a vörös színű fehérbor. A pont – így a középpont is – definíció szerint kiterjedés nélküli, absztrakt fogalmat jelent, definíció szerint. A pont definíció szerint nulla dimenziós. A pontnak nincs mérete, így a pont méretét nulla paraméterrel meg lehet határozni.

> míg a külseje (feltéve, hogy létezik) pedig 0 dimenziós

Ez azt jelenti, hogy ennek a fraktálnak nincsenek pontjai a középponton kívül. Akármekkora sugarú gömböt veszünk, a benne szereplő pontok száma a sugár nulladik hatványával arányosan növekszik.

De mint írtam a fizikai világra a fraktál dimenziófogalmát nem lehet alkalmazni.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Tehát nagyon jó, hogy összelapátolsz matematikai fogalmakat, anélkül, hogy értenéd azok jelentését. Csak hát az egész egy értelmetlen katyvasz lesz. Ezzel az erővel mondhattad volna, hogy Petőfi verseinek átlaghőmérséklete olyan kereken gurul, amiknek a térfogata piros, és a sebessége 3 kg. Ez is pontosan ugyanolyan értelmes, de legalább némileg viccesebb lenne.

@6:

OFF!

"vagy a vörös színű fehérbor"

Fehérborszőlőből lehet meglepő dolgokat kihozni :) A megszokott világos szalmaszín (néha zöldes reflexekkel szalmaszínű, néha egészen világos stb) a héjon áztatás hiányára vezethető vissza, aminek a következtében nem áznak ki a fenolos komponensek a héjból, így nem fognak a borunkba kerülni. Azonnali héjelválasztással kékszőlőből is fehérbornak kinéző borunk lesz. Szokás is ilyet készíteni, vékonyabb héjú, nagyobb hús:héj arányú kékszőlőkből, pl kadarkából, vagy pinot noirból. De az igazán izgalmas, hogy mi történik, ha fehérszőlőből készítünk bort vörösboros technikával: hosszú héjon áztatás, gyakori csömöszölés, technoborászkodásra vágyóknak kis pektinbontózás stb.. A legtöbb esetben érdekes ízű, furán cseres (nem épp a megszokott tanninérzet), narancssárga borok születnek (ezeket hívjuk narancsboroknak), de egyes fehérborszőlők máshogy viselkednek. Pl, hogy mást ne mondjak, a szürkebarát (pinot gris/pinot grigo) héjon áztatva rosszabb esetben is rozészínű bort ad, de kicsit több odafigyeléssel silleres, sőt, vörösboros lehet (idehaza Losonci Bálintnak a 2012-es remek szürkebarátja volt erre jó példa). Pedig szürkebarát, hát az fehérbort ad... És fogunk pár kivételes darabot, megnézzük, és kiderül: hát nem, lehet az a fehér vörös színű is :)

Általában ha fogsz tetszőleges szavakat és beírod a keresőbe, akkor fogsz találni olyan tanulmányt amelyben az adott szavak szerepelnek az absztraktban (ennek is megvan a maga oka. Szvsz előbb-utóbb a nyelvészetben is megjelennek majd a "fraktál", "dimenzió", "topológia" stb szavak).

De éppen semmit nem találok arra vonatkozóan hogy a tér dimenziója vagy Hausdorff-dimenziója (ez utóbbit ajánlja a kérdés alatt, címkének adtad meg?) ne lenne állandó mindenhol.