Hogyan kell ezt bizonyítani?

Mert ha trigonometria. Először nézzük meg hogy milyen a, b számokra igaz:

1+ab > 0.5 * (sqrt(1+a^2)*sqrt(1+b^2))

Keressünk -pi/2<X<pi/2 , -pi/2<Y<pi/2 úgy hogy tan X = a , tan Y = b. Tudjuk, hogy ilyen minden a,b-re van. Akkor cos X > 0, cos Y > 0 és a jobb oldal nagyon szép lesz:

(1+tan X * tan Y) > 0.5*1/Cos X*1/cos Y

és át is szorzunk vele:

cos X cos Y + sin X sin Y = cos(X - Y) > 0.5

Ez igaz, ha:

-pi/3 < X-Y < pi/3

Hát igaz-e, hogy négy -pi/2 és pi/2 közötti számból, az eredeti számok kotangeséből, mindig van kettő, amik pi/3-nél közelebb vannak?

Hát ha felosztjuk a megadott intervallumot a (-pi/2, -pi/6] ; (-pi/6, pi/6], [pi/6, pi/2) intervallumokra akkor három számot még el tudunk helyezni úgy, hogy mindegyikben csak egy legyen de négyet már nem. Mindegyik intervallum ugye pi/3 hosszú, tehát amelyik intervallumban kettő van az a hunyó.

És így már az is látszik, hogy háromra miért nem teljesül: vegyünk egy (pi/6, pi/2) számot, vonjunk le belőle pi/3-t majd még egyszer pi/3-t, ezeknek a számoknak vegyük a tangensét, ebből a háromból bármelyik kettőre 1+ab >= 0.5 * (sqrt(1+a^2)*sqrt(1+b^2)) lesz igaz.

Nem cotangens hanem arkusz tangens csak már nem tudom mit gépelek :)

És a végét elírtam, 1+ab <= akart lenni, nyilván.

Ha már írok: tehát a (-végtelen, -1/sqrt(3)], (-1/sqrt(3), 1/sqrt(3)], (1/sqrt(3), végtelen) intervallumokba kellene besorolni négy számot és ez ugye nem sikerülhet, veszed a két számot amik egy intervallumba kerültek, veszed az arkusz tangensüket, és a fenti módon látható hogy <= lesz a vége és nem >.

Szorozzunk át a gyökszorzattal, ez semmit se változtat, mert a szorzat mindig határozottan pozitív.

Egy koordináta-rendszeren ábrázolva, A két gyök szorzata 0,5-hez tart felülről, ha a, b tart nullához. A növekedés mértéke pedig a*b nagyságrendű. A másik oldal 1-hez tart, a növekedése szintén a*b nagyságrendű. Itt tehát két szigorúan monoton függvény van, amelyek csak pozitív tartományon értelmezettek, nullában a számláló 1, a nevező fél, tehát a hányados 2. Minden további pontban pedig a hányados (mert a nevező görbéje van felül) legfeljebb 1, ami nagyobb, mint fél.