Hogyan integráljuk x változó szerint az sqrt (25-x^2) kifejezést?

Először leírom, utána csatolok egy képet is, csak sajna ronda a kézírásom.

Először is, nevezzük el az integrált mondjuk I-nek, később szükség lesz rá.

Az sqrt(25-x^2) tagot is a továbbiakban "A"-nak nevezném, mert nincs kedvem sokszor leírni, de semmi más érdemi köze nincs a megoldáshoz.

Bővítsd saját magával, így kapsz egy törtet, aminek a számlálója (25-x^2), a nevezője A. Ezután a törtet kettébontod a számláló szerint, így kapsz két törtet:

25/A és (-x^2)/A

Az elsőből kiemeled az integrál elé a 25-öt, és a megfelelő képlet szerint megoldható az integrál, az eredmény 5*arcsin(x/5) lesz.

A másodikat parciálisan kell integrálni. Az egyik tag az x lesz, a másik a (-x)/A.

Ha elvégzed a parciális integrálást, ennek a végeredménye:

x*A - A

Amint gondolom észrevetted, visszajutottunk oda, hogy van egy A, amit kell integrálni. Ez jelen esetben jó, mert nem pont oda jutottunk vissza, hogy int(A)dx = int(A)dx = I(tudom, hogy ez rossz jelölés, de hirtelen nem tudok jobbat kitalálni, és nem tudom, mi az integrál standard jelölése ilyen gépelt szövegben).

Ha a fenti részeredményeket összeadod, és elvégzed az int(A)dx = I behelyettesítést, akkor ezt kapod:

I = 5*arcsin(x/5) + x*A - I

Ezután csak annyit kell tenned, hogy I-t átviszed a másik oldalra, elosztod kettővel, és odaírod a végére a C-t. Összességében ezt kéne kapd:

I = (5*arcsin(x/5) + x*sqrt(25-x^2))/2 + C

Itt van róla egy kép is, ha a parciális integrálást nem úgy jelöltem, ahogy te szoktad, azért elnézést, erdélyi vagyok, és pár helyen eltér a jelölésrendszerünk.

[link]

Megjegyzés: Az arcsin-os integrálást véletlenül eltoltam a képen, 25 van az 5 helyett, nagyon sajnálom, rosszul emlékeztem elsőre az integrálási szabályra, újrafotózni pedig lusta vagyok, innen a hiba.

És persze sikerült a parciális integrálás eredményét is rosszul felírnom a gépelt szövegben, vacsora után büntethető kéne legyen az analízis.

Ez a helyes eredmény:

x*A - int(A)dx

Parafagólem: #1 vagyok, kifejtenéd kérlek, mikor akarod ezt a helyettesítést elvégezni? Így kapásból nem tudom, mire gondolhatsz.

Kérdező: Örömmel bármikor, de kicsit jobban örülnék, ha az a ZH anal lenne, és nem anál :)

OFF: Melyik egyetemre jársz, és milyen karra/szakra, ha nem vagyok indiszkrét? Mindössze kíváncsiság, mert nálunk nincs külön analízis tárgy.

∫√(25-x²)dx=5∫√(1-(x/5)²)dx

helyettesítés:

x/5=sin(t)

x=5sin(t)

dx/dt=5cos(t)

dx=5cos(t)dt

5∫√(1-(x/5)²)dx=5∫√(1-sin²t)5cos(t)dt=25∫√(cos²t)·cos(t)dt=25∫cos²tdt

Innen már mennie kell.