Bizonyítsuk be, hogy hat egymást követő természetes szám közül mindig kiválasztható egy, amelyik relatív prím az összes többihez. Mi a megoldás?

vazlatosan: hat egymast koveto szam hattal vagy annal nagyobb szammal osztva ugye egymast koveto maradekokat ad, pl 0,1,2,3,4,5, de mindegy mi pontosan. Tehat kozos osztojuk (ha van) nem lehet hat vagy annal nagyobb.

Namost az oszthatosag szabalyaibol meg kovetkezik, hogy 2-vel 3-al, 4-el es 5-el sem lehet mindegyikuk oszthato.

5-el ketto oszthato kozuluk, 2-vel harom, 3-al ketto, 4-el pedig egy, vagy ketto.

Vagyis nincs mindegyikben meglevo kozos osztojuk. Ami azt jelenti, hogy akarmennyit is valasztasz ki amelyik nem relativ prim (a 2,3,4, vagy 5 reven), legalabb egy kivalaszthato, amelyik kimarad.

A hat egymást követő természetes szám hattal osztva a 0,1,2,3,4,5 maradékot adja - nem feltétlenül 0-val kezdve.

A 0,2,4 kiesik, mivel páros, és 3 ilyen van.

A 3 is kiesik, mert 3-mal osztható, mint a 0.

Tehát 2 ilyen relatív prím számunk lehet, az 1 és az 5 maradékú.

Közülük csak az egyik lehet osztható 5-tel, a másik feltétlenül relatív prím az összes többihez, mert ha van(nak) is 5-nél nagyobb prímosztója(i), az(ok) biztos nem osztja(k) a többit, mert kisebb a távolság közöttük.

(Kettő is lehet relatív prím az összes többihez.)