Egy mozgásegyenlet felírásakor honnan tudom eldönteni, hogy mik a szabad paraméterek?

Az omega_0-át a differenciálegyenlet határozza meg, az a (lineáris) rendszerre jellemző ún. sajátkörfrekvencia.

Ha ismert ugyanis a rugó merevsége, és a lengő test tömege, akkor omega_0=gyök(merevség/tömeg). Ez a rendszerre jellemző, tehát "szabad" eleve nem lehet.

Amikor fel van írva a differenciálegyenlet, akkor kezdeti feltételek megadása szükséges ahhoz, hogy a differenciálegyenlet egy integrálgörbéjét kapjuk meg.

Az A és a fi esetedben integrációs konstansok, és ezek a szabad paraméterek.

Ha az egyenletet továbbviszed, hogy

x(t=0)=x0, éa x'(t=0)=v0, akkor ebből kijön A-x0 és v0-fi kapcsolata is.

A szabad paraméterek számát a vonatkozó mozgásegyenlet rendje határozza meg. Minden szabadsági fokra fel lehet írni egy mozgásegyenletet, de mivel Newton II. törvénye egy másodrendű differenciálegyenlet, ezért két szabad paraméter határozza meg az általános megoldáshalmazból azt, ami a konkrét feladathoz illik. Ha harmadrendű volna, akkor három szabad paraméter lenne.

Hogy ezek mik, az nem egyértelmű, mert a kezdő pozíció és kezdősebesség helyett választhatnánk bármely más pozíciót és az ahhoz tartozó sebességet is, vagy két különböző időponthoz tartozó pozíciót is.

Az általános megoldás felírásakor a szabad paraméterek megjelennek az egyenletben, de ha te nem ezeket akarod közvetlenül meghatározni, hanem másokat, akkor ezeket a másokat neked ki kell fejezned a paraméteres egyenletekből.

Tehát ha pl. nem x0 és v0 van megadva, hanem x(t1)=x1 és x'(t1)=v(t1)=v1, de neked általános megoldásként mondjuk az jön ki, hogy x(t)=x0 + v0*t + 1/2*a*t^2 (egyenletesen gyorsuló mozgás), akkor a t1 időpontra vontkozóan az általános megoldásból két egyenletet kapsz:

(1) x1=x0+v0*t1+1/2*a*t1^2

(2) x'(t1)=v1=v0+a*t1

Ez a két egyenlet teremt kapcsolatot az x0,v0 illetve x1,v1 szabad paraméter-páros között. Az, hogy melyiket praktikus használni, az adott feladat dönti el.

Ha így kezeled, mindig lesznek problémáid, ugyanis csak a lényeget nem ismerted fel belőle, helyette formális összefüggésekkel operálsz.

Egy mozgásegyenlet, bármilyen formában is van felírva, egy test erők hatására bekövetkező mozgását írja le. Azaz térben egy pályagörbe, amelynek helyzete az időtől függ. A görbe jellege nagyon sokféle lehet a rá ható erők sokféleségétől függően. Ugyanakkor egy véges görbe lehet sok helyen. A "szabad paraméter" azt jelenti, hány adattal tudunk egy azonos lefutású görbét egy konkrét helyhez rögzíteni.

Egy asztalon meglökött tárgyra gyakorlatilag csak a súrlódási erő hat, ami egy (mondjuk x tengely irányú) vektor. A test és az asztal adott, tehát a test tömege és a súrlódási együttható is. Ha megadod a lökés erejét, a folyamat időbeli lefutása egyértelmű, a végsebesség és a pályahossz görbéje is egyértelmű. Ha általában egy ugyanolyan anyagú, formájú testről van szó, akkor annak tömege akármi, ez egy szabad paraméter. Ha nem adod meg az anyagot és/vagy formát, megváltozhat a súrlódási együttható, ez esetben két szabad paraméter lesz. Ha viszont azt kérdezed, milyen anyagú és tömegű test milyen asztalon, milyen lökettel megy 50 centi hosszat, akkor fel kell írnod általánosan az egyenleteket. Lesz néhány ismeretlened, néhány összefüggésed, és ha mindent helyesen írtál fel, akkor n összefüggés és k változtatható paraméter lesz. Ebből k-n darab lesz szabad. Ha n=k, akkor nincs szabad paraméter, a lefolyás egyértelmű. Ha n>k, akkor a rendszer túlhatározott, nincs megoldás. (ha mégis, akkor valamit elrontottál).

"vagy két különböző időponthoz tartozó pozíciót is."

Ehhez annyi megjegyzésem van, hogy a differenciálegyenlet szempontjából ez egy peremérték probléma lenne.

Igazolható matematikailag, hogy az ilyen jellegű peremérték-probléma visszavezethető kezdetiérték-problémára.

Ebből az is következik, hogyha pusztán kezdeti pozíció és kezdeti sebesség eetére vizsgáljuk a megoldást, ezt az általánosság megszorítása nélkül tehetjük, hiszen az általad felvetett peremérték-feladat amúgy is ilyen típusú feladatra vezethető vissza.

"Ehhez annyi megjegyzésem van, hogy a differenciálegyenlet szempontjából ez egy peremérték probléma lenne."

Lényegtelen, minek nevezzük, a fizika szempontjából tárgyalandó mozgás két adatáról van szó, amelyek az általános megoldásból kiválasztják a konkrét szituációhoz illőt - emiatt hívják őket szabad paraméternek az általános megoldás formulájában. A kérdező a szabad paraméterek után érdeklődött, és adott erőfüggvény hatására bekövetkező mozgást a kezdőpont és kezdősebesség helyett két időponthoz tartozó helyzet is kijelöl, vagyis szabad paraméternek ezek is választhatók.

A "szabad paraméter" fogalmának megértéséhez hozzátartozik annak intuitív felismerése, hogy a mozgás időbeliségét egy dimenzióban csupán két adat meghatározza, és a kérdező jól mutatott rá arra, hogy ez nem feltétlenül a kezdőpont és kezdősebesség.

Talán annyit érdemes még megjegyezni, hogy a mozgásegyenlet megoldásakor, azaz integrálásakor fellépő paraméterek azok, amelyek az általános megoldásban szabad paraméterként jelennek meg, de amelyeket át lehet transzformálni másokba akkor, amikor az általános megoldást a konkrét feladatot meghatározó pozíció és/vagy sebesség segítségével az adott feladatra alkalmazzuk.

"Lényegtelen, minek nevezzük, a fizika szempontjából tárgyalandó mozgás két adatáról van szó"

Egyáltalán nem lényegtelen. Matematikai szempontból a közönséges differenciálegyenletek kétfélék lehetnek: Kezdetiérték feladatok és peremérték feladatok. (parcdiffegyenleteknél még lehetnek vegyes feladatok is, lásd hiperbolikus típusú feladatok.)

Mellesleg ha már a peremérték-problémákat annyira szereted, akkor javaslom vizsgáld meg az unicitás kérdését is, amely egyébként a korrekt kitűzöttségnek egyik feltétele (a háromból).

Ha részletesen vizsgálódsz, alapvető problémákba fogsz ütközni.

Newton után u.is. pl. egy anyagi pontra annyit tudunk mondani, ha ismerjük a mozgástörvényt, a kezdeti pozíciót, és a kezdősebességet egy alkalmas t0 időpillanatban akkor tetszőleges t>t0-ra meg tudjuk határozni hogy hol lesz az anyagi pont.

Tipikus példa: Kosárlabda dobása célba. Középiskola szinten is ismert, hogy a pálya egy parabola (légellenállás és egyéb külső tényezők elhanyagolásával), de két megoldás van a pályát tekintve. Azaz ha adott a cél pozíciója, ahhoz két v0 (vektor) is tartozik. Azaz ez két kezdetiérték-problémát jelent.

Remélem sikerült rámutatni a felvetésem gyökerére. Nem véletlen amúgy, ha kinyítasz egy differenciálegyenletek kvalitatív elemzésével foglalkozó könyvet, akkor abban tipikusan az x'(t)=f(x,t) alakú egyenlet(rendszer)-t tárgyalják az x(t0)=x0 kezdeti feltétel mellett. A Cauchy-féle átírással u.is. egy másodrendű kezdetiérték-probléma pont ilyen alakra hozható. Viszont másodrendű peremérték-feladatoknál azonnal szembetűnő lesz a határozatlanság.

U.is. ha Cauchy-átírással átírod az egyenletedet rendszerré, akkor a peremérték-probléma két pozíciófeltételét nem tudod hova tenni.

Hasonlóan a határozatlanság problémája pl. Laplace/Fourier transzformáció segítségével való megoldás során is jelentkezik, bár a bonyolultság tipikusan többdimenziós feladatoknál jelentékeny. Ebbe nem megyek most bele részletesen, de remélem

sikerült megértened azt a problémát, amiről beszélek.