Mennyi ennek a kifejezésnek az értéke?

Tisztázzuk, az lg az most tízes alapú logaritmus akar lenni, vagy ln akart lenni, azaz természetes alapú logaritmus?

Mert ez utóbbi esetben:

ln(exp(x)) = x

így:

ln(LN(EXP(exp(1)))

esetén a nagybetűs részre vonatkoztatva ezt:

ln(LN(EXP(exp(1))) = ln(exp(1)) = 1

Tehát mivel kettővel több exponenciális függvény van, az egész kifejezés egyenértékű ezzel:

exp(exp(1)) ≈ 15,1542622415

Az lg nem csak "akart lenni" tízes alapú logaritmus, hanem nyilván az is.

Az exp(exp(1)) ahogy 2*Sü is írja, annyi amennyi. Eköré jön 2017 darab lg(exp(...)).

lg(exp(x)) = ln(exp(x))/ln(10) = x/ln(10). Tehát minden egyes lg(exp(...)) egy ln(10)-zel való osztás. A válasz tehát:

exp(exp(1)) * (1/ln(10))^2017 = 3.9 * 10^(-730) ami borzasztó közel van a nullához (tizedespont után 729 nullával).

Na így már viccesebb. Sajnos most idő szűkében vagyok, de valahogy az a sejtésem, valami ilyesmi lesz a kulcs:

lg(x) = ln(x) / ln(10)

Így:

lg(exp(x)) = ln(exp(x)) / ln(10) = x / ln(10)

lg[ lg(exp( exp(x) )) ] = lg[ exp(x) / ln(10) ] = lg[exp(x)] - lg[ ln(10) ] = [ ln(exp(x) / ln(10) ] - [ ln(ln(10)) / ln(10) ] = x / ln(10) - ln(ln(10)) / ln(10) = ( x - ln(ln(10)) ) / ln(10)

Valahogy ebből lehetne talán továbbépítkezni, de most nincs több időm erre… (És nem ellenőriztem a lépéseket, bocs, ha valamit elrontottam, de az elv talán a lényeg.)

Sajnos a következő lépcsőben jön az, hogy lesz egy log(e^x - log(log(x))) tagod aminél vége a dalnak, különbség logaritmusával nem lehet mit kezdeni.

A 2017 és 2019 miatt elsőre ez olyan házifeladatosnak vagy versenyfeladatosnak tűnt, de nem az. Nyilvánvalóan nincs rövidebb alakban leírható formája, 2 darab lg-t lehet eltüntetni belülről, ennyi. Még ha a határérték lenne a kérdés, el tudnám képzelni, hogy valami okos trükkel eredményre lehet jutni, de ez a 2017... esélytelen.

Honnan jött a kérdés?

Nem valószínű, hogy sokat segít, de nekem az jutott eszembe, hogy esetleg kommutátorokkal lehetne jutni valamerre.

Ugye ez a kifejezés nem más,

mint L^2017*E^2019*x,

ahol L az az operátor, amire L*y = lg(y), és E pedig az, amire E*y = exp(y).

Ezek kommutátora

[L, E] = L*E – E*L = I/ln(10) – G,

ahol I az egységoperátor (amire I*x = x), és G az ln(10)-edik gyök (amire G*x = x^(1/ln(10)) lesz). Ugye azért, mert

L*E*x = lg(exp(x)) = x/ln(10), és

E*L*x = exp(lg(x)) = exp(ln(x))^(1/ln(10)).

Rövidítsük [L, E]-t egyszerűen A-nak. Így átrendezve a kommutátor definícióját

L*E = [L, E] + E*L = A + E*L.

Ezzel

L^2017*E^2019 = L^2016*(A + E*L)*E^2018 = L^2016*A*E^2018 + L^2016*E*L*E^2018 =

= 1/ln(10)*L^2016*E^2018 – L^2016*G*E^2018 + L^2016*E*L*E^2018.

Itt az első tag hasonlít az kezdeti cucchoz, csak kisebbek a kitevők, a harmadikban lehet tovább tolni a középső E-t balra, az L-et jobbra, a középsőhöz meg jó volna G kommutátora L-lel és E-vel… De azt így nézegetve nem lesz benne semmi szép, és csak bejön két még rondább operátor, és azok csak szaporodni fognak, mint a nyulak, ha tovább visszük.

Bocsánat, hogy hangosan gondolkoztam, talán majd egy másik feladatnál ez jó ötlet lesz…

Nem, ez baromság… Elmentem zuhanyozni, és rájöttem.

Ez még szerintem jó:

L^2017*E^2019 = L^2016*(A + E*L)*E^2018 = L^2016*(I/ln(10) – G + E*L)*E^2018,

talán még az összeget is szét lehet szedni középről, de az ln(10)-et már nem lehet kivinni a sor elejére csak úgy, a valóssal osztást is külön operátorként kell kezelni, ami nem kommutál. Amúgy például a G azt csinálja az E*x-szel, hogy osztja az argumentumát ln(10)-zel, azaz

G*E*x = E*(x/ln(10)).

Ha az ln(10)-zel osztást F-fel jelöljük, akkor

G*E*y = E*(y/ln(10)) --> G*E = E*F.

Meg valószínűleg hasonlóan:

L*F*y = lg(y/ln(10)) = lg(y) – lg(ln(10)),

akkor mégse hasonlóan…

L^2016*(I/ln(10) – G + E*L)*E^2018 = L^2016*(F – G + E*L)*E^2018

L^2017*E^2019 = L^2016*F*E^2018 – E*F*E^2017 + E*L*E^2018…

Már ha tényleg szét lehet szedni az összeget… (Amire nem esküszöm.)

No mindegy, az a tanulság, hogy okosabb maradni a függvényjelölésnél.

+1 röpke ötlet:

exp(x) = e^x = ( 10^(lg(e)) )^x = 10^(x*lg(e))

exp(exp(x)) = e^exp(x) = 10^(exp(x)*lg(e)) = 10^(10^(x*lg(e))*lg(e))

De megint nincs időm végiggondolni, hogy ez több iterációra kifutva mennyire segít.