Mi {0;1}^|N| számossága?

|ℕ| = ℵ₀

A számosság definíciója szerint:

ℵ₁ = 2 ^ ℵ₀

Tehát {0;1}^|ℕ| = ℵ₁.

Erről meg azt tudjuk, hogy:

ℵ₁ > ℵ₀

azaz

ℵ₁ > |ℕ|

Ha kontinuumhipotézis igaz, akkor:

ℵ₁ = ℶ₁

azaz

ℵ₁ = |ℝ|

Ha kontinuumhipotézis nem igaz, akkor:

ℵ₁ < ℶ₁

azaz

ℵ₁ < |ℝ|

(A kontinuumhipotézis viszont nem bizonyítható és nem cáfolható.)

#1 fordítva ülsz a lovon, ℵ₁ = 2^ℵ₀ nem az ℵ₁ definíciója, hanem a kontinuum-hipotézis axiómája. És |R| = 2^ℵ₀ igaz mindkét rendszerben. Tehát pont fordítva mint ahogy írod.

A válasz tehát {0;1}^|N| számossága kontinuum, pont. A [0,1] valós intervallum és a {0;1}^|N| között bijekció van (kettes számrendszer-beli reprezentáció), ami a számosság "akkor és csak akkor" definíciója. A kontinuum-hipotézisnek a kérdés szempontjából semmi relevanciája.

Már legalább 4-szer írtam 1-nek, nem fog rajta :D

A kérdésben szereplő számosságot meg nem nagyon lehet máshogy leírni, vagy tovább egyszerűsíteni. Kb ő definiálja ezt a számosságot, a legegyszerűbb/leggyakoribb reprezentánsa. Szokás C-vel jelölni és kontinuumnak hívni, de ez inkább definíció, mint állítás. Mindenesetre gondolom ez az elvárt válasz.

#1:

[link]

#2:

A kettes számrendszerbeli reprezentáció nem bijekció [0,1] és {0,1}^N között.

Sorry, hobbimatematikusként annyi ideig használtam rosszul a jelölésrendszert, hogy még nehézséget okoz jól használni.

Tehát definitíve azt tudjuk, hogy:

|ℕ| = ℵ₀

Továbbá:

ℵ₀ = ℶ₀

tehát

|ℕ| = ℶ₀

Szintén tudjuk, hogy:

ℶ₁ = 2 ^ ℵ₀

illetve:

ℶₙ₊₁ = 2 ^ ℶₙ

Ebből nyilván következően:

2 ^ ℵ₀ = 2 ^ ℶ₀ = ℶ₁

Viszont a kontinuumhipotézis alapján ℶ₁ = ℵ₁

Ha a kontinummhipotézis igaz, akkor:

2 ^ |ℕ| = 2 ^ ℵ₀ = 2 ^ ℶ₀ = ℶ₁ = ℵ₁

Ha viszont a kontinuuhipotézis nem igaz, akkor:

2 ^ |ℕ| = 2 ^ ℵ₀ = 2 ^ ℶ₀ = ℶ₁ < ℵ₁

Na így már megvan a kettes, vagy még mindig elböktem valamit?

~ ~ ~

Filozofikus kérdés. Ha azt mondanám, hogy:

2 ^ |ℕ| = ℵ₁

az igazából hibás állítás? Hiszen a kontinuumhipotézis nem bizonyítható és nem cáfolható. Ergo ha ezt állítom, azzal nem állítok olyat, ami ne lenne konzisztens a matematikában.

Igen, a végén csak elböktem valamit. :-) Javítás:

Ha viszont a kontinuumhipotézis nem igaz, akkor:

2 ^ |ℕ| = 2 ^ ℵ₀ = 2 ^ ℶ₀ = ℶ₁ > ℵ₁