Szeretném ha valaki segítene ennek a feladatnak a levezetésében, megoldásában : van egy kör (x-0)^2+(y-0)^2=9 és a P(5,5) pont. a pontból két érintő vektor húzható a kör érintőjére. ezt a két vektort keresem, mi lesz a megoldás?

Érthető. A probléma az, hogy bárhogy is állítod hogy megvannak az érintési pontok, valójában nincsenek meg. Beadod a számítógépbe, és az kiad neked egy közelítő megoldást. Ez, nagyon helyes észrevetted, nem segít neked a feladatban. Mivel nem segít neked konkrétan semmit az érintési pontokra adott közelítő megoldás, a legjobb ha elfelejted őket. A js file-odat zárd be.

Aztán állj neki annak, amit segítségül kaptál, nem hülyeség az.

Legalábbis ha a feladat matematika, és a vektorok érdekelnek téged. Ha a vektorok csak közelítőleg érdekelnek téged (mert ez nem egy feladat, hanem előjött mondjuk egy játék programozása során), akkor az van, amit #16-ban írtam: ezekből a közelítő értékekből kivonsz 5-öt, és kapsz egy közelítő értéket a vektorokra.

Egy teljes és egyszerű megoldás.

Először kiszámoljuk az érintő hosszát, majd azzal megtaláljuk az érintési pontokat, majd azokból adódnak az érintő vektorok.

Érintő hossza (#9-ben elvileg ugyanez le van már írva) :

Legyen az érintési pont É, ekkor PÉO szög derékszög. Így PÉO háromszögre fennáll

: OP^2 = OÉ^2 + PÉ^2,

amiből

: PÉ^2 = OP^2 - OÉ^2.

OP négyzete a Pitagorasz-tételből 50, OÉ négyzete 9, így

: PÉ^2 = 41

((megjegyzés : az érintő hosszának a négyzete a P pont körre vonatkozó hatványa[0], amit úgy is megkaphattunk volna, hogy beírjuk P-t a 3 sugarú kör 0-ra rendezett egyenletébe, azaz

: x^2 + y^2 - 9

-be. És tényleg, az

: x*x + y*y - 9

-be beírva P(5,5) az

: 25 + 25 - 9 = 41

-et adja, P hatványát a körre))

Most megkeressük az érintési pontokat.

Az érintési pontok 9 és 41 távolságnégyzetnyire vannak O-tól és P-től, így az

: x^2 + y^2 = 9

: (x-5)^2 + (y-5)^2 = 41

egyenletű körök metszéspontjai lesznek (ez is szerepelt #9-ben).

Kiszámoljuk az érintési pontokat. (Ez nem szerepelt eddig. Az eredmény ott van #17-ben.)

Kér kör metszéspontjának meghatározására egy jó módszer ha az egyik egyenletből kivonjuk a másikat, ekkor egy kör és egy egyenes metszéspontjára redukálódik a feladat.

Az egyenes egyenletéből kifejezzük az egyik változót, és beírjuk a kör egyenletébe, ami egy másodfokú egyenletre vezet, amit a megoldóképlettel megoldunk. Konkrétan:

: 1) x^2 + y^2 = 9

: 2)(x-5)^2 + (y-5)^2 = 41

2) kibontva

: x^2 -10x + 25 + y^2 - 10x + 25 = 41

kivonva belőle 1) és átrendezve :

: 18 = 10 x + 10 y

((megjegyzés : ez az egyenlet ugyanaz, mintha a P pontot félig beírtuk volna a 3 sugarú kör egyenletébe, azaz

: x^2 + y^2 = 9

-be. És tényleg, az

: x*x + y*y = 9

-be beírva a P(5,5) pontot az

: 5x + 5y = 9

egyenest adja, P polárisát[1]))

Ebből

: y = 9/5 - x

adódik. Beírva a körbe:

: x^2 + (9/5-x)^2 = 9

kibontva és átrendezve:

: x^2 - 9/5 x - 72/25 = 0

megoldva x-re:

: x1,2 = 9/10 +- 3/10*√41

a hozzátartozó y-ok

: y1,2 = 9/10 -+ 3/10*√41

(x és y szimmetrikusak).

Az éritntési pontok tehát

: É1 = ( 9/10 + 3/10*√41 , 9/10 - 3/10*√41 )

: É2 = ( 9/10 - 3/10*√41 , 9/10 + 3/10*√41 )

A számítógép is ugyanezt számolta : [link] (itt görgess a "solutions" részhez).

Megvannak az érintési pontok, ebből megkapjuk a PÉ1, PÉ2 vektorokat:

: PÉ1 = É1 - P =

: = ( 9/10 + 3/10*√41 - 5 , 9/10 - 3/10*√41 - 5 ) =

: = ( 3/10*√41 - 41/10 , - 3/10*√41 - 41/10 ).

A PÉ2 meg szimmetria miatt ennek a fordítottja:

: PÉ2 = ( - 3/10*√41 - 41/10 , 3/10*√41 - 41/10 ).

[0] : [link]

[1] : [link]

Nem igazán értem, hogy miért ragaszkodsz annyira az m-es megoldáshoz, mert az nagyon extra dolgot nem fog neked nyújtani.

Minden lineáris függvény felírható y = m*x + b alakban, ahol m és b konstanosk, x és y pedig azon pontnak a koordinátái, amelyek rajta fekszenek az egyenesen (vagy másképp: a pontok koordinátái kielégítik az egyenletet). Mivel most az (5;5) pont rajta van az egyenesen, ezért x és y helyére beírhatjuk ezeket:

5 = m*5 + b, ebből b-re rendezés után

5 - 5m = b adódik, tehát mi az egyenes egyenletét

y = m*x + 5 - 5m

alakban keressük, ahol m úgynevezett paraméter. A paraméter olyan érték, ami az egyenlet vagy egyenletrendszer megoldhatóságát befolyásolja; míg x és y esetén azt keressük, hogy mikor elégül ki egy egyenlet, addig az m esetén az a kérdés, hogy hogyan "állítsuk be", hogy x és y valamilyen tulajdonsággal rendelkezzen. Jellemzően a paraméternél azt szoktuk feltenni, hogy annak értékének függvényében hány megoldás van, de egy rahedli dologra lehet használni.

Illetve egy kivételes eset van, amit ilyen alakban nem tudunk felírni, az az x=5 egyenletű egyenes, de az nem érintője a körnek.

Ahogy eddig is, metszéspontot kell számolnunk, vagyis a kör és az egyenes egyenletét egyenletrendszerbe tesszük:

y = m*x + 5 - 5m }

x^2 + y^2 = 9 }

Ha már y-t tudjuk, akkor oda helyettesítsünk be:

x^2 + (m*x + 5 - 5m)^2 = 9

Kibontás és általános alakra rendezés után:

(m^2+1)*x^2 - (10m^2 - 10m)*x + 25m^2 - 50m + 16= 0

Ez pedig így egy másodfokú egyenlet, ahol a megoldóképletben:

a = (m^2+1)

b = -(10m^2 - 10m)

c = 25m^2 - 50m + 16

Ezeket alapvetően be kellene írnunk a megoldóképletbe, azonban most jön a lényegi része a feladatnak; a körről tudjuk, hogy egy egyenes akkor és csak akkor érintője egy körnek, hogyha pontosan egy közös pontjuk van. Ez azt jelenti, hogy ennek az egyenletrendszernek pontosan egy megoldása kell, hogy legyen, az pedig csak akkor lehet, hogyha a másodfokú egyenlet megoldóképletének diszkriminánsa (a gyökjel alatti rész) 0, tehát ezt az egyenletet kell m-re megoldanunk:

(-(10m^2 - 10m))^2 - 4*(m^2+1)*(25m^2 - 50m + 16) = 0

Megoldás:

[link]

GeoGebrával ellenőriztem, ez a megoldás. Tehát a m-et ezen értékeknek kell megválasztanunk, hogy az egyenesek érintői legyenek a körnek.

Egyébként ajánlom a GeoGebrát, magyar is, online is elérhető, de le is tölthető, akár telefonra is, teljesen ingyenes, és kb. fél perc alatt megoldást adott volna a problémádra (persze attól függően, hogy tudod-e, mit hova kell benne írni). De nem egy agysebészet alapvető dolgokat megtanulni benne.