Mekkora egy 45 fokos középponti szögű, egységnyi sugarú körcikkből kivágható legnagyobb kör sugara?

chat gpt csinált rá egy kis kódot:

import math

# A kör sugara

r = 1

# A középponti szög fele radiánban

theta = math.radians(45 / 2)

# A legnagyobb kör sugara trigonometriai számítással

# Mivel a kör érinti a körcikk ívét és a két sugár által meghatározott szakaszt,

# az érintőszakasz a csúcspontból a kör középpontjáig tartó távolság lesz, amit trigonometriával számolhatunk ki.

# Az érintőszakasz hossza a távolság a kör középpontjától a legnagyobb kör középpontjáig,

# ami az "r * cos(theta)" képlettel számítható ki.

max_circle_radius = r * math.cos(theta)

max_circle_radius

az eredmény: 0.9238795325112867

A szöveges rész:

Egy egységnyi sugarú kör esetén, amikor egy 45 fokos középponti szöget tekintünk, a kérdés az, hogy milyen nagy lehet a körív ezen szegmensén belül elhelyezkedő legnagyobb kör sugara. A körcikk alakja miatt a legnagyobb kör, amit ki tudunk vágni, érinteni fogja a körcikk ívét és a két sugár által meghatározott szakaszokat.

Vizualizáljuk a problémát:

Van egy egységnyi sugarú körünk (sugara = 1).

Ebből kivágunk egy 45 fokos körcikket.

Azt keressük, hogy milyen nagy lehet a körcikken belül egy kör sugara, amely érinti a körcikk ívét és a két sugár által meghatározott határokat.

A legnagyobb kör sugara a körcikk csúcsából a körívig húzott érintőszakasz hossza lesz, amely merőleges lesz a sugárra. Ezt a távolságot trigonometriai számításokkal lehet meghatározni, figyelembe véve, hogy a középponti szög 45 fok.

A körcikk csúcsából a középpontig húzott vonal felezi a 45 fokos szöget, tehát egy derékszögű háromszöget kapunk, ahol a derékszögű háromszög egyik szöge 22.5 fok. Az ismeretlen sugár (legnagyobb kör sugara) a háromszög egyik befogója lesz, míg a másik befogó 1 (a kör sugara). A keresett távolság kiszámításához használhatjuk a trigonometria törvényeit.

Kezeljük ezt a problémát matematikailag a pontos sugár kiszámításához.

A 45 fokos középponti szögű, egységnyi sugarú körcikkből kivágható legnagyobb kör sugara körülbelül 0.924 egység.

Ez nem biztos, hogy jó megoldás, de szerintem azt elmondja hogyan lehet ténylegesen kiszámítani.

#4: húsvéti tavaszi kvíz. Van hét, ehhez hasonló nehézségű matek feladat. Ha mindet megfejted, és beküldöd a helyes választ, 5000 pontot kaphatsz.

Érdekes módon az egyik feladat PONTOSAN ugyanez...

Szóval vagy kérdező ferdít, vagy a matektanára nCore-ról merített ihletet 🤣

#1

"Az ismeretlen sugár (legnagyobb kör sugara) a háromszög egyik befogója lesz, míg a másik befogó 1 (a kör sugara)."

A másik befogó nem 1 lesz.

"A 45 fokos középponti szögű, egységnyi sugarú körcikkből kivágható legnagyobb kör sugara körülbelül 0.924 egység."

Nyilvánvaló, hogy ez rossz megoldás. Egy 45 fokos körcikkbe nem fér bele egy majdnem ugyanakkora sugarú kör.

Ha matematikai kérdésről van szó, akkor a ChatGPT értelem nélkül csak egymás után fűzi a szavakat. Halandzsázik, ahogy szokott. :-)

Talán le kellene rajzolni:

[link]

Ott látsz egy derékszögű háromszöget, amelynek alapján felírható: sin22,5°=r/(R−r)

Ebből: r=R·sin22,5°(1+sin22,5°)=1·sin22,5°(1+sin22,5°)≈0,2768

1

„Az ismeretlen sugár (legnagyobb kör sugara) a háromszög egyik befogója lesz, míg a másik befogó 1”

Mitől lenne a másik befogó 1? Az 1 a nagy kör sugara.

„Ez nem biztos, hogy jó megoldás, de szerintem azt elmondja hogyan lehet ténylegesen kiszámítani.”

Ez biztos, hogy nem jó megoldás, és szerintem egyáltalán nem mondja el, a kiszámítás módját.

2

„Leellenőríztem. Jó az eredmény.”

„A cos 22,5 eredménye adja a beleírt sugár nagyságát.”

Ez nem igaz, cos22,5°≈0,9239, vagyis az eredmény nem jó.

"r=R·sin22,5°(1+sin22,5°)=1·sin22,5°(1+sin22,5°)≈0,2768"

Ebből kimaradt egy-egy /.

r=R·sin(22,5°)/(1+sin(22,5°))=1·sin(22,5°)/(1+(sin22,5°))≈0,2768

De egyébként kifogástalan. :-)

krwkco

Igen valóban kimaradt, köszönöm az észrevételt.