Hogyan oldjam meg ezt a matekfeladatot?

Szia!

En nem szamoltam most vegig, de igy kezd el. Rajzold fel a Venn-diagramot (ez az, amikor koroket rajzolsz metszetekkel). A leirasomban ^ jel a metszetet jelenti.

Az elso allitasbol kovetkezik, hogy egeszen kozepre 5-ot irsz, es mivel ez pont annyi, mint az A^C, ezert az A es C kozos resze (ami csak a kettojuke) 0.

Aztan B^C elemszama 8. Mivel kozepen van mar 5, a B es C kozos resze(ami csak a kettojuke) 3.

Mivel C elemszama 12, ezert C halmazba (ami csak C) 4 kerul.

Na most tovabb nem szamoltam, de kezdolokesnek talan jo lesz. Az abran probald meg megkeresni az egyes halmazokat reprezentalo helyeket. Pl. A\B (A minusz B) az A-nak az a resze, amibe "nem log bele B".

Én úgy kezdenék hozzá, hogy rajzolok 3 egymást metsző karikát (Venn diagramnak hívják, biztos tanultátok), így jobban látszik, hogy mi mit is jelent. Az egyes részeket elnevezném mondjuk így:

A középső rész (a hármasmetszet): abc (ez nem szorzat, hanem név!). Itt vannak azok a halmazelemek, amik mindháromnak részei, vagyis a három halmaz metszete.

Csak az A elemei: a

A és B közös elemei a hármasmetszet nélkül: ab

stb. Szóval lesznek: a,b,c,ab,ac,bc,abc.

Ezek a nevek jelentik a megfelelő halmazok elemszámát is.

Egyébként ezek a "területek" jelekkel így írhatóak le:

abc = |A∩B∩C|

ab = |(A∩B)\C|

a = |A\B\C|

stb. (máshogy is fel lehet írni őket...)

Aztán olvasom az állításokat sorban, és beírom a megfelelő helyekre ami információt az állításokból kaptam. Nem sorban lehet felhasználni az infókat, az eleje így megy:

- (1) első fele: |A∩B∩C|=5, tehát abc=5

- (1) másik fele: |A∩C|=5, tehát ac+abc=5, ac=5-5=0

- (6): |B∩C|=8, bc+abc=8, bc=3

- (3): |C|=12, tehát c+ac+abc+bc=12, c=4

Idáig lehet egyszerűen eljutni, így néz ki ilyenkor az ábra:

[link]

(2): b+ab+5+3 = a+ab+5+0 + 10

tehát b=a+7

(5): Mivel |A\B| = a+ac = a+0

és |B\A| = b+3

ezért 2a=b+3

Az utóbbi kettőből sima egyenletmegoldással ki is jön, hogy a=10, b=17

Már csak ab nincs meg

(4):

|(A∩B)\(B∩C)| az éppen az ab

|A\(B∪C| az meg az a

Tehát ab=5

Most már csak össze kell adni őket, pl. |A|=a+ab+abc+bc, stb.