Három szám, amelynek összege 114, egy mértani sorozat első három eleme, de tekinthetők egy számtani sorozat 1. ,4. , és 25. elemének is. Melyik ez a három szám?
erre szeretnék egy szebb megoldást, mert az enyém helyenként találgatásra épült.
m1+m2+m3=114
m1+m1*q+m1*q^2=114
m1(1+q+q^2)=114
a1+a4+a25=114
a1+a1+3d+a1+24d=114
3a1+27d=114 /:3
a1+9d=38 /most találgatok!?
ha a1=2 akkor d=4
ha a1=11 akkor d=3 stb, sőt a1 mínusz is lehet
ha a1=-7 akkor d=5 stb a végtelenbe és tovább
visszatérve a mértani sorozathoz, azt tudjuk hogy a1=m1
tehát behelyettesítek ebbe; m1(1+q+q^2)=114 /:2
a fentiek közül, olyan számot keresek ami megvan a 114-ben
hála istennek, csak a 2 fele meg ennek (negatív sincs)
1+q+q^2=57 0-ra redukálunk q^2+q-56=0 megoldjuk
q1=7 q2=-8 mind a kettő valós gyök, azaz megoldás
amiből kapjuk a mértani sorozatot 2;14;98 ahol q=7
és a számtani sorozatot; a1=2;a4=14;a25=98 ahol d=4
a három szám összege pedig valóban 114
az eredmény jó csak a megoldás nem tetszik
ha tud valaki szakszerűbbet megköszönöm
nem igazán látom hogy hogyan kellene felírni egyismeretlenes egyenletnek, vagy kétismeretlenes egyenletrendszernek.
lehet abból kéne kiindulni hogy a1=m1; a4=m2; a25=m3
de hogyan?
válasza:"...lehet abból kéne kiindulni hogy a1=m1; a4=m2; a25=m3 "
Nagyon jó ötlet, csak végig kellett volna csinálnod.
Legyen
a mértani sor
m1, m2, m3,...
a számtani
a1, a2, a3, ...
Amit tudunk
m1 + m2 + m3 = 114
a1 = m1
a4 = m2
a25 = m3
A mértani sor tulajdonsága miatt írható
m1*m3 = m2²
Ezt a számtani sor elemeivel felírva
a1( a1 + 24d) = (a1 + 3d)²
A műveletek elvégzése és összevonás után
2*a1 = d
Ha ezt viszahelyettesítjük az összegképletbe
a1 + a4 + a25 = 114
a1 + (a1 + 3*2*a1) + (a1 + 24*2*a1) = 114
Összevonás után adódik
57*a1 = 114
a1 = 2
ezzel
d = 2*a1
d = 4
Ezek után a mértani sor tagjai
m1 = a1
m1 = 2
======
m2 = a4 = a1 + 3d = 2 + 3*4
m2 = 14
======
m3 = a25 = 2 + 24d = 2 + 24*4
m3 = 98
=======
A mértani sor hányadosa
q = m2 / m1 = 14/2
q = 7
====
DeeDee
***********
Ezt a számtani sor elemeivel felírva
a1( a1 + 24d) = (a1 + 3d)²
A műveletek elvégzése és összevonás után
2*a1 = d
nem tudtam levezetni, segíts ki még ebben
köszi
válasza:Nem tudom, hogy az
m1*m3 = m2²
összefüggést - ami a megoldás kulcsa - ismered-e?
Ha igen, átugorhatod a következő sorokat. :-)
Ha nem, akkor célszerű megjegyezni, hogy a mértani sor minden tagja a második tagtól kezdve az őt azonos távolságban előző illetve követő tagok mértani közepe.
Például 5 tag esetén
m1, m2, m3, m4, m5
m1*m5 = m3²
vagy
m2*m4 = m3²
vagy
m3*m5 = m4²
Vissza a kérdésedre.
Az általad nem világos rész tulajdonképpen egyszerű algebrai feladat.
a1( a1 + 24d) = (a1 + 3d)²
A bal oldalon felbontva a zárójelet, a jobb oldalon elvégezve a négyzetre emelést
a1² + 24*a1*d = a1² + 6*a1*d + 9d²
Összevonás után
18*a1*d = 9d²
A korrekt folytatás a következő, nem az, amit a válaszban írtam
18*a1*d - 9d² = 0
d-t kiemelve
d(18*a1 - 9d) = 0
A szorzat nulla, ha valamelyik eleme nulla, tehát vagy
d = 0
vagy
18*a1 - 9d = 0
18*a1 = 9d
9-cel egyszerűsítve
2*a1 = d
Ha d = 0, akkor a sorozat minden tagja ugyanaz a szám, tehát
a1 = a4 = a25
Ezekkel az összegképletből
a1 + a4 + a25 = 114
az adódik, hogy
3*a1 = 114
és
a1 = 38
ekkor a mértani sor minden tagja is 38, a hányadosa pedig 1.
Ha d ≠ 0, akkor a válaszban leírtak érvényesek.
DeeDee
************
köszi
nem ismertem ezeket
és még az egyszerűbe is nagyon belegabalyodtam :(
remélem így már értem, majd átnézem, köszi
kellemes ünnepeket
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!