Nem tudok megoldani 2 matekfeladatot. Segítene valaki?

Az első feladat megoldása:

[link]

A másodikat is mindjárt feltöltöm.

Ha az első feladat megoldása kell formálisan (halmazelméleti jelekkel is), szólj, és megcsinálom. Bár a feladat nehézségi szintje alapján szerintem úgy nem kérik.

A második feladat megoldása:

[link]

Látom elkéstem, ezért csak szakmai érdeklődésből kérdezném meg: szerencsésnek tartjátok didaktikai szempontból a ,,tapéta alá szoruló buborék'' hasonlatát, vagy kerülendő? Én valamiért szeretem.

Hogy érthető legyen, mire is gondolok, mégiscsak közlöm a megoldásomat, nem tiszteletlenségből, hanm csak azért, mert abból érthetővé válik, hogy mire is gondolok a ,,tapéta alá szoruló buborék'' hasonlata alatt. Egyébként Madarász Tiborné & Pólos László & Ruzsa Imre: ,,A logika elemei'' c könyvében is említik, igaz, nem ilyen néven, és kissé más keretek között (Osiris 2005: 159-166).

Elnézést kérek az előző válasszal való sok átfedésért, mindenesetre ha valaki át szeretné ugrani az átfedéseket, akkor elmondom, hogy az aktuális lényeg így most már inkább a második felében felé van.

__________________________________________________________

A logikai példához szeretnék hozzászólni.

Először is megpróbálom szavakkal megfogalmazni a megoldást, aztán meg megpróbálok egy rajzos módszert is ajánlani.

Tehát szavakban:

Csak három diáknak lett hibátlan a dolgozata. Azt is tudjuk, hogy az első két példa 20-nak sikerült, de ebben tulajdonképpen benne kell lennie a három hibátlan dolgozatnak is. Tehát azok, akik pontosan az első két példát oldották meg (a harmadik nélkül), azok 17-en vannak.

Hasonlóképpen:

Csak három diáknak lett hibátlan a dolgozata. Azt is tudjuk hogy a második-harmadik példa 8-nak sikerült, de ebben tulajdonképpen benne kell lennie a három hibátlan dolgozatnak is, tehát azok, akik pontosan a második-harmadik példát oldották meg (a harmadik nélkül), azok 5-en vannak.

Meg volt adva az is, hogy a harmadik példa 29 diáknak sikerült. Erről a 29 diákról immár elég sokat tudunk:

• közülük 3-nak nemcsak a harmadik példa sikerült, hanem az első és a második is, szóval mindhárom (eminensek, kitűnőek);

• 17-en megoldották a harmadik példán kívül az elsőt is, de a másodikat nem;

• 5-en megoldották a harmadik példán kívül a másodikat is, de az elsőt nem.

Szóval, ha ezt a fenti három kategórát egy szóval akarnám összegezni, akkor úgy mondhatnám, hogy összesen 3 + 17 + 5 = 25 diák volt az, aki a harmadikon kívül még legalább egy példát megoldott (akár még egyet, akár mindhármat);

29-en voltak, akiknek a harmadik példa sikerült;

EBBŐL 15-en voltak, akiknek a harmadikon kívül még valamit többletet is tudtak.

TEHÁT: a fennmaradó 29 -15 = 4 diák volt az, akik megoldották a harmadikat, de ezenkívül semmi mást nem tudtak.

A feladatban még az is meg volt adva, hogy

• 2 diák volt, akiknek az 1. példán kívül semmi más nem sikerült,

• és szintén 2 diák volt, akiknek a 2. példán kívül semmi más nem sikerült.

Most már a tudásunk alapján végre nagyjából szét tudjuk osztani kategóriákba legalább azokat a diákokat, akik bármi értékelhetőt is alkottak (legalább egy példát megoldottak):

CSAK EGYETLEN PÉLDA SIKERES:

• Csak az első példa: 2 diáknak

• Csak a második példa: 2 diáknak

• Csak a harmadik példa: 4 diáknak

ÖSSZESEN KÉT DB PÉLDA SIKERES:

• Első példa sikertelen, másik kettő sikeres: 5 diáknak

• Második példa sikertelen, másik kettő sikeres: 17 diáknak

• Harmadik példa sikertelen, másik kettő sikeres: ? diáknak (ezt még nem tudjuk, hány is ez a ?)

MINDHÁROM PÉLDA SIKERES:

• 3 diáknak

Szóval, az üres lapot beadók kivételével, szépen szétosztottunk mindenkit pontosan egy kategóriába, bár egy kategóriát egyelőre még kénytelen voltam kérdőjellel (?) jelölni. Nem baj, talán majd a kérdőjeles részt megkapjuk valahogy ,,KIZÁRÁSOS ALAPON''.

A kategóriákba besorolt diákokat összegezzük: 2 + 2 + 4 + 5 + 17 + ? + 3, vagyis öszesítve 33 + ? diáknak sikerült valami értékelhetőt alkotnia.

Ezek közül az első két példa valamelyike 2 + 2 + 5 + 17 + ? + 3 = 29 + ? diáknak sikerült. Ezt úgy kaptam, hogy lényegében szó szerint megismételtem az előbbi összegzést, csak kihagytam azt a négy diákot, akiknek pontosan csak a harmadik példa sikerült, és semmi más.

Még valamit megadott a feladat, amit eddig nem használtunk ki. Szóval a feladat azt is kimondta, hogy ,,az 1. vagy a 2. feladatot viszont 29-en oldották meg jól''.

Tehát: az első két példa valamelyike 29 + ? diáknak sikerült, és egyben azt is tudjuk, hogy ,,az 1. vagy a 2. feladatot 29-en oldották meg jól''. Vegyük észre, hogy a két mondat szinte szó szerint ugyanúgy hangzik, a két állítás teljesen ugyanazt fejezi ki, ugyanaz az értelmük! Tehát az a 29 + ? diák, az egyben a 29 diák is, szóval a ? kategóriára 0 diák ,,jut''. Nincs egyetlen olyan diák, aki az első két példában sikeres lett volna, de a harmadikban sikertelen. Ez a kategória ,,üres''. Sikerült kizárásos alapon visszakövetkeztetnünk erre.

Most már mindent tudunk azoknak a diákoknak az eloszlásáról, akik valami értékelhetőt produkáltak. De mi van azokkal, akiknek egyik példa sem sikerült? Hát őket is kizárásos alapon számoljuk meg, ez az elv előbb sikerült, talán sikerülni fog most is. Szóval, értékelhető dolgozata 33 + ? diáknak volt, és immár azt is tudjuk, hogy a ? kategória üres, tehát 33 diák alkotott valamit. A feladat szerint az osztálylétszám 36, tehát a fennmaradó 3 diák adott be üres lapot.

No,ennyit a konkrét részletekről, most lássuk, miféle segédeszközök vannak általában az efféle megoldásokhoz.

Úgy halottam, van valami módszeres megoldási mód az efféle feladatokra, talán valami táblázatokkal vagy diagrammokkal, mindenesetre én nem ismerem ezeket. Azonban az egyszerűbb típusú logikai példákat meg tudom oldani egy sajátos, egyszerű ábrás módszerrel, ezt most el is mondom.

Venn-diagrammokat használok:

(Szerző: Molnár Attila, [link]

Amint a fenti diából is látható, a Venn-diagram módszere jól jön akkor, amikor logikai kijelentésekről kell eldönteni, hogy igazak-e vagy sem.

A gond csak az, hogy ennél a feladatnál nemcsak logikai állításokkal kel foglalkozni, hanem afféle ,,készleteket'' is nyilván kell tartani, ,,készletezni'' is kell, szóval a bonyolult logikai szabályok szerint osztályokba sorolt dolgokat meg is kell számolni. Ez már nehezebb feladat, mint a logikai követkeeztetések tudománya, márpedig a Venn-diagramokat (tudtommal) eredetileg inkább logikai következtetések szemléltetésére találták ki.

Szerencsére egy ötlettel a Venn-diagramok ilyen célokra is használhatóak. Szóval az ötlet lényege az, hogy a Venn-diagramot úgy képzelem el, mintha egy tapétára lenne felrajzolva. A feladatban lévő számadatokra pedig úgy gondolok, mintha valami légbuborék lenne a tapéta alé szorulva, én pedig azt az ujjaimmal próbálnám eltüntetni, a buborék pedig nem tűnne el, csak oszlana, máshova siklana, kettéválna, egyesülne stb., szóval vándorolna és változtatná az alakját, ahogy nyomkodom az ujjaimmal, de a tapéta alá szoruló levegő menyisége mindenképp ugyannyi maradna.

Ezt persze én mondom így a szavaimal, részletesebben és pontosabban a dolog itt van leírva.

[link]

(Szerző: Molnár Attila, [link]

Az eleje picit másról szól, bár bevezetésképp érdemes lehet megnézi azt is. Ha mégis inkább kihagynád a témához szorosan nem kapcsolódó részeket, akkor kezdheted a 15. diától, ott jönnek elő a Venn-diagramok.

[link]

(Szerző: Forrai Gábor, [link]

No akkor most elmodom, hogy mindez konrétan mit is jelent ennek a feladatnak az esetében.

Rajzoluk három kört, ezek mindegyike belemetsz a másik kettőbe. A köröket besoszámozom: I, II, III. Szóval lerajzolom a Venn-diagramok jellegzetes ábráját:

[link]

(Szerző: Mr Brwon, [link]

Utána a feladat szóbeli megoldásának megfeleően bejelölöm, hol mennyi diák van. Mivel még nem tudom pontosan, hogy az egyes ,,szeletekben'' mennyi diák van, mert a legtöbb létszámadat úgy van megadva, hogy ,,több kategórián is átnyúlik''.

• Első és harmadik példa sikeres 20 diáknak

• Második és harmadik példa sikeres 8 diáknak

Az ilyen dolgokat legfeljebb csak úgy tudom jelölni, hogy a megfelelő helyre olyan vonalat húzok, ami pont a megfelő módon átnyúlik a szóbanforgó kategóriákon. A megadott létszámot a vonalhoz írom oda, hszen arról még nem tusom, hogy melyik kategóriára pontosan mennyi jut belőle, vagyi pontosan hogyan oszlik el, szóval csak csak úgy ,,összesítve'' tudom, hogy az érintett két kategóriának együtt összesen ennyi létszáma van.

Ebben a konkrét esetben a megfelelő két vonal összeér, erre ügyelni kell. Lehet közös részük, szóval átfedés, tehát még nem szabad úgy tekinteni rájuk, mintha egész biztos lehetnék abban, hogy ne lenne átfedés köztük.

Könnyű eltéveszteni a vonalakat. Szerencsére néhány dolog azért mégiscsak meg van adva közvetlenül is a feladatban, annak az ábrázolásával kevesebb bajunk lesz:

• Pontosan csak az első példa sikeres más nem: 2 diáknak

• Pontosan csak a második példa sikeres, más nem: 2 diáknak

• Mindhárom példa sikres: 3 diáknak

ezeket az információkat azonnal be tudom jelölni: a megfelelő kategórába teszek egy pöttyöt, és odaírom a létszámot. ,,Mindhárom példa sikeres: 3 diáknak'', ezt a mondatot is egy pötty jeleníti meg az ábrán, egyébként épp ez a pötty lesz az előbb említett két vonal közös érintkezési pontja.

Egészében véve ugyanúgy járok el, mint a szöveges leírás esetében, tulajdonképpen lépésről lépésre ugyanúgy gondolkodom, mint a szöveges okfejtés esetében, csak hát megpróbálok mindent lépésenként az ábra nyelvén is kifejezni. Megpróbálok minden szabályszerűséget észrevenni, és az ábra nyelvén is jelölni, időnként pedig új és új ábrát rajzolni, mintha valami diasorozatot jeleníteék meg, filmet készítve a levezetésről. A vonalak, pöttyök, satírozások sajátos módon ,,buggyantják ki'' és szakítják ketté egymást, valahogy tényleg úgy, ahogy a tapéta alá szoruló légbuborék vonul arrébb, ahogy az ujjammal akarnám eltüntetni (ami persze lehetetlen). Újraoszlatni lehetéges (bizonyos szabályok szerint), de teljesen eltünteni nem lehet. Szóval megvan neki a sajátos ,,fizikája''. Ez az ábranyelv először kissé szokatlannak hat, de később megszokja az ember, és akkor már segítséget adhat az ábranyelv új példáknál is.

Molnár Attila oktatóanyaga (a Venn-diagramokról) sajnos kimaradt az előbb, itt pótolom a linket:

[link]

A ,,tapéta alá szorult buborék'' módszeréről nem ebben van szó, hanem a másik diában, bár nem ezen a néven említi, és más keretek között, más feladatokra alkalmazza:

[link]

a 15. diától kezdve érdemes nézni. (Ez Forrai Gábor már említett diája, ez nem maradt ki az előbb sem.)