Mit jelent egy irracionális számmal való szorzás?

#7; persze a 2*pi számításban nincs nagy variációs lehetőség, a pi-nek minden számjegyét meg kell szorozni 2-vel.

De mi a helyzet a pi*2 esetén? Itt most vonatkoztassunk el attól, hogy ennek értéke megegyezik 2*pi értékével, mivel itt egy teljesen másik értelmezási mód lép életbe; avagy a kétszer fél almát könnyen tudjuk értelmezni (illetve könnyen le tudjuk vezetni az egész számmal való szorzásból), viszont ha ragaszkodunk a szorzás definíciójához, ami az, hogy egész a esetén a*b = b+b+b+...+b, ahol a darab b van, a félszer 2 alma nem értelmezhető.

A permanencia-elv alapján újra tudjuk értelmezni a szorzást úgy, hogy törttel is működjön; mondjuk azt, hogy az a*b értéke (ahol a racionális) legyen az, hogy a b-nek az a részét vesszük. Például a 2000 forintos torta 2/5 része legyen (2/5)*2000, ennek az értékét pedig ki tudjuk számolni a tanult módon, vagyis a 2000-et felosztjuk 5 egyenlő részre, és ezekből a részekből veszünk 2-t, így kapjuk a 400-as eredményt.

Hogy ugyanezt el tudjuk játszani irracionális szorzóval is, kell nekünk a határérték-számítás; ha tizedesjegyenként nézzük:

pi*2=

-ha pi értékét 3,14-nek vesszük, akkor az azt jelenti, hogy a 2-nek a 314/100 részét vesszük

-ha pi értékét 3,141-nek vesszük, akkor az azt jelenti, hogy a 2-nek a 3141/1000 részét vesszük

-ha pi értékét 3,1416-nak vesszük, akkor az azt jelenti, hogy a 2-nek a 31416/10000 részét vesszük

.

.

.

értelemszerűen ezt bármeddig csinálhatjuk, a pontos eredményhez (amit egyébként pi*2-vel jelölünk) sosem fogunk eljutni, csak tetszőlegesen közel tudunk hozzá kerülni.

Általánosan azt mondhatjuk, hogy pi n tizedesjegyre lefelé kerekített értéke megadható

[3,p(1)p(2)p(3)...p(n)*10^n]/10^n alakban, ahol a szögletes zárójel az alsó egészrészt (lefelé kerekítést) jelöli, p(n) pedig a pi-nek az n-edig tizedesjegye, ekkor pi*2 pontos értékét így kapjuk:

pi*2 = lim{n->végtelen} ([3,p(1)p(2)p(3)...p(n)*10^n]/10^n * 2), vagyis ennek a határértéknek az eredménye.

Magához a szemlélethez, hogy mit jelent az irracionális számmal való szorzás, elég csak annyi, hogy mindig tudjuk valamilyen véges tizedesjegyű racionális számra kerekíteni, és az azzal való számolást már tanultuk korábban, tehát gyakorlatilag ugyanúgy működik az irracionális számokkal való szorzás, mint bármilyen racionálissal.

Sőt, azt mondom, hogy a 0,333333...-mal is tudunk számításokat végezni; vagy úgy, hogy valahogy kerekítjük (0,33-ra, vagy 0,333-ra, vagy még több 3-asra), vagy átalakítjuk törtté, ami 1/3 lesz, és azzal ugyanúgy tudunk számolni. Az irracionális számok csak annyiban különböznek a végtelen szakaszos tizedestörtektől, hogy "szabálytalanul" követik egymást a számjegyek, de ugyanúgy végtelen darab tizedesjegyük van, így az irracionális számokkal való szorzás (illetve annak megértése) analóg a végtelen szakaszos tizedestörtekéhez.