Egy 2r sugarú elhanyagolható vastagságú homogén anyageloszlású körlapból kivágunk egy r sugarú kört úgy, hogy az a 2r sugarú körvonalat kívülről érintse. Hogyan határozzuk meg ennek az alakzatnak a súlypontját?

Az előbb említett képlet a második bekezdésben ("Definíció") található:

[link]

Egy alakzat súlypontját meghatározhatod úgy, hogy az alakzatodat részekre bontod, és veszed azok súlyozott súlypontját. (Hiszen a koordináták súlyozott összege egy összeg, és mint olyan, kommutatív, asszociatív, szabadon garázdálkodhatsz vele.)

Például ha az egyenesen van három pontod, A,B,C súlyokkal és a,b,c koordinátákkal, akkor a súlypontjuk

: S = 1/(A+B+C) * (Aa + Bb + Cc)

ami megegyezik azzal, mintha először az A és a B súlypontját számoltuk volna ki, és azt (A+B) súllyal vennénk, vagyis

: S' = 1/((A+B)+C) * ( (A+B)(1/(A+B)(Aa+Bb)) + Cc )-vel.

Jól látható, hogy középen a koordináták súlyozott összege jelenik meg.

Ez igaz diszkrét pontokra, és kiterjedt testekre is.

. . .

Ennek megfelelően a keresett test súlypontját meghatározhatod úgy is, hogy veszed a nagy kör súlypontját, meg veszed a kis kört -1 tömeggel, és meghatározod a súlypontjukat.

Ha tanultál integrált, akkor ugyanez látszik anélkül is, hogy diszkretizálnád. A csonkolt kör koordinátaösszege (∫ rdm) felírható úgy mint a nagy kör koordinátaösszege mínusz a kis kör koordinátaösszege, amiket a tömegekkel való beszorzásokkal kapsz, majd leosztasz a csonkolt kör tömegével.

Az említett feladat nagyon szemléletesen megoldható úgy is, hogy három alakzatra bontod fel szimmetrikusan a problémás objektumot, tehát két kis kört vágsz ki belőle. A két kis kör tömege egyenlő a maradék tömeggel, és az egyes részek súlypontja is pontosan adott a szimmetriatengelyen.

Fejből számolva már meg is van, hogy a súlypont r/3 távolságra esik a nagy kör középpontjától!

Ha jól értem, #4 azt mondja, hogy veszed azt az alakzatot, amit úgy kapsz hogy a nagykörből kivágsz 2 kis kört, és hozzáadod az egyik kis kört.

Az alakzat tömege 2M (ha egy kiskör tömege M), a tömegközéppontja az origó, így ha hozzáadsz egy M tömegű kiskört r távolságra, akkor a keletkező alakzat (a feladatban keresett alak) tömegközéppontja

: 1/(2M + 1M) * (2M*0r + 1M*1r) = 1/3 r

Remek!

Nem kellett volna lepontozni 6-ost. Ő jól értelmezte a feladat leírt szövegét: "kivágunk egy r sugarú kört úgy, hogy az a 2r sugarú körvonalat KÍVÜLRŐL érintse."

6-os nagyon jól mutatott rá erre a hibára a feladatban. Csak szerényen úgy kezdte, hogy "Nem igazán értem a feladatot". :-)