Egy 14 fős osztályban kisorsolnak 5 egyforma tollat, de egy fő akár többet is kaphat. (Ismétléses kombináció.) Mekkora a valószínűsége, hogy az összes tollat 1 diák kapja?

Oké, nyertél! :D

Itt egy érdekes megközelítés ugyanilyen feladatra:

[link]

Ha úgy számolunk, hogy számít a sorsolás sorrendje, akkor

Kedvező eset: 14*1*1*1*1=14

Összes eset: 14*14*14*14*14 = 14^5

Valószínűség: 14/14^5 = 1/14^4 = 1/38416

Ha nem számít a sorrend, akkor

Kedvező eset: 14

Összes eset: (14-1+5 alatt az 5) = 8568

Valószínűség: 14/8568 = 1/612

Ezek jöttek ki mindenkinek. Szóval nem mindegy, hogy számít-e a sorrend. És nem véletlenül; például az A ember, ha számít a sorrend, akkkor csak egyféle betűsorral kaphatja meg az 5 tollat: AAAAA, míg ha az ABCDE embereket nézzük, akkor ől 5!=120-féleképpen kaphatják meg, viszont ha ezek sorrendje nem számít, akkor 1-1-nek lennének számolva, ami "felértékeli" az AAAAA valószínűségét. Tehát a sorrendiséggel kell számolni. Általában is igaz -és ezt már hangoztattam máskor is-, hogy ha a sorrendiséggel számolunk a valószínűségszámításnál, akkor biztosan nem érhet minket probléma (már ami az eredményt illeti).

Abban az esetben nem kellene a sorrendiséggel számolni, ha például a tombolán 8568 szelvény lenne, amikre a létező összes lehetőség fel lenne írva (például ABC-sorrendben, AAAAA-tól OOOOO-ig (angol ABC szerint)), ebben az esetben mindegyik csoportnak valóban 1/8568 az esélye megkapni a tollakat.

Áááááh, felfogtam, hogy mi a trükk/átverés.

8568 kombináció létezik, ahogy írtad, viszont nem mondhatjuk, hogy ebből 14 a kedvező eset és csak el kell osztani, mert a 8568-ban az egyes esetek különböző valószínűséggel következnek be.

Pl. sokkal kisebb a valószínűsége, hogy A-nál lesz 5 toll, mint hogy A-nál lesz 3 és B-nél 2.

Scripttel ellenőrizve 100 millió húzásból 2641-szer került egy valakihez az összes toll, ami 0.0000264100.

Ez elég jól közelíti az 1/38416-ot, ami kb. 0.0000260308.

A dobókockásnál mindig fel lehet állítani egy sorrendet. Az, hogy melyik kocka ér le előbb a földre, az meghatározza a sorrendjüket, nincs is azzal probléma, a probléma inkább abból fakadhat, hogy ha „egyszerre„ érnek földet, akkor nem tudjuk őket megkülönböztetni.

Most két, hasonló gondolatmenetet adok a megkülönböztethetőséghez;

1) a dobókockákat úgy gyártjuk le, hogy szétszedhetőek legyenek, belsejükbe tegyünk pontosan illeszkedő kék és zöld golyókat. Kívülről nem tudjuk őket megkülönböztetni, de ha szétszedjük a dobókockákat, akkor a bennük lévő golyókkal már igen. Változik-e ekkor a valószínűség? Nyilván nem.

2) A két eldobott dobókocka közé véletlenszerűen tegyünk egy lécet, melynek hosszirányban egyik oldala zöldre, másik sárgára van festve. Ezzel fel tudunk egy zöld-sárga sorrendet állítani a dobókockák között. Természetesen a valószínűség itt sem fog változni.

A lényeg, hogy bármilyen (diszkrét) esemény van, mindig felállítható egy sorrendiség (a kvantummechanikához nem értek).

Viszont arra a részére nem reagáltál a válaszomnak, hogy mi van akkor, hogyha nem egyesével sorsolják a tollakat, hanem előre megírt névsorok kihúzásával. Mert meglátásom szerint akkor már kell az általad felvetett ismétléses kombináció. Na persze nem a legéletszerübb példa, de mint lehetőség, ez is előfordulhat.

A dobókockás példa párja ebben a felállásban a dominós példa, ahol a létező összes párosítás csak EGYFÉLEKÉPPEN van benne a készletben. Tehát például nincs olyan hogy 2-3 és 3-2, mert ezek ugyanazok a kövek. Itt már valóban az lenne, hogy a sorrendiséggel nem kell számolni, így 1-6 számok vannak a dominókon, akkor 6+5+4+3+2+1=21-féle dominó van a készletben, így 1/21 a valószínűsége például annak, hogy találomra kihúzzuk a 2-3-as dominót, viszont ugyanennek a dobókockák esetén 2/36=1/18 a valószínűsége.

A lényeg, amit már az előbb is leírtam; ha rögzített események vannak, nem pedig egyesével kreáljuk azokat, akkor az ismétléses kombináció adja meg a kedvező esetek számát.