Komplex számok?

i^2=-1

(-i)^2=(-i)×(-i)=i^2=-1

i^2-(-i)^2=-1-(-1)=0

Felvetődik a kérdés; miért?

Tegyük fel, hogy igazad van, tehát (-i)^2=i. A bal oldalt írjuk át a hatványozás definíciója szerint: (-i)*(-i)=i, most pedig osszunk i-vel: (-i)*(-1)=1, ami értelemszerűen nem igaz, tehát i semmi szín alatt nem lehet a (-i)^2. Annak az értéke egyébként kereken 1, akárcsak az i-nek; ez ugye azért van, mert (-1)*(-1)=1, tehát mindegy, hogy i-t vagy (-i)-t emeled négyzetre (akárcsak a 3 és a (-3) négyzete is 9).

A komplex számok bevezetésénél bizonyára tanultad, hogy az "i" az a (0,1) rendezett párnak felel meg.

Valószínűleg azt is tanultad, hogy a komplex számok körében a következőképpen működik a szorzás:

(a,b)*(c,d) = (ac-bd, ad+bc)

Ez alapján az "i^2" akár fejben is levezethető, hogy -1 lesz:

(0,1)*(0,1) = (0*1-1*0, 1*0+0*1) = (-1,0)

Tanulság: Ha valamiben nem vagy biztos, akkor számolj utána a definíciók alapján!

Egyébként valószínűleg azt is tanultátok, hogy az "i" hatványai ciklikusan ismétlődik:

i^0 = 1

i^1 = i

i^2 = -1

i^3 = -i

i^4 = 1

i^5 = i

[...] (gondolom innen már látszódik a minta)

Ha az előbbi hsz.-emben leírt algebrai számolás nem jutna eszedbe, akkor ez is egy jó mankó lehet.

Érthetetlen, hogyan jut el valaki a komplex számokig, amikor az elemi algebrai azonosságok sem mennek.

Érettségin is alapelvárás az (a*b)^c=a^c*b^c ismerete, bár most már mindent a függvénytáblából néznek ki.

Alkalmazni kéne tudni ezt az i szimbólumra is:

(-i)^2=(-1)^2*i^2=1*(-1)=-1.

Tehát "ha az -i-t négyztere emelem az i, nem?" erre a válasz hogy nem...