Mennyi pontosan 1/3 * 3?

De ha kézzel írod be a 0,333-t (annyi tizedesjegyig, amennyit eleve kiírt az osztásnál), és úgy szorzod fel, akkor 0,999-t fog.

Megjegyzi, hogy az osztásosnál több tizedesjegy is van, hiába nem tudja kiírni.

[link]

Itt írnak erről

Az egyik számítási mód szerint 1 (mivel 3*1/3=3/3=1), a másik számítási mód szerint 0,999... (mivel 1/3*3=0,333...*3=0,999...), ezzel nincsen semmi baj.

A lényeg itt az, hogy két módon számoltunk ki valamit, és kétféle eredményt kaptunk. Viszont ha ugyanazt számoljuk ki, csak más módokon, akkor az eredménynek is ugyanannak kell lennie. Ebből következően 1=0,999..., még ha nem is érezzük így.

Mi lehet itt a probléma; az, hogy végesben valóban az van, hogy 0,9=/=1, 0,99=/=1, 0,999=/=1, és így tovább, viszont itt véges tizedestörteket akartunk egyenlővé tenni, míg a 0,999... egy végtelen szakaszos tizedestört, és a végtelenben teljesen mások lehetnek a játékszabályok adott esetben, mint végesben, és itt is ez a helyzet, emiatt az intuíció nem működhet megfelelően.

Ezt mi is megkérdeztük a matektanárunktól gimiben. 0,999999.... az egyenlő 1-gyel. Ez elsőre groteszk, igen. De ha nagyon megérted/átéled a végtelen tizedestörtek természetét, akkor azért be lehet látni, hogy tényleg így van.

A másik dolog: a tizedestörtek igazából csak "barátságosabb" ábrázolásai a hagyományos törteknek. Az csak egy megjelenési formája a számoknak. 1 osztva 3-mal az 1/3. Amit igen, át lehet írni más formába, de az attól igazából még 1/3 marad. Ha esetleg más formába írva, majd vele műveletet végezve más eredményt kapnánk, mint a tört formával, akkor ott az átírási módszerrel van valami baj.

Egyébiránt középiskolai ismeretekkel is végig lehet gondolni, hogy mi történik.

Vegyük az S= 0.3333... számot aminek n darab tizedesjegye van!

Ekkor felírható hogy

S=a+a/10+a/100+...+a/10^n.

Könnyen észrevehető, hogy ez egy geometriai sorozat q=1/10 kvócienssel vagyis:

S=a*szumma (1/10)^k, k megy 0-tól n-ig. Ennek a végképletét megtaláljátok a fv.táblában is.

Ill. lehet venni ennek az n->inf határértéket, ez a képlet is szerepel a fv.táblában (megj.: |q|<1-re konvergens a sor) :

S=a/(1-q). Ha beírjátok hogy a=0.9 és q=1/10 akkor

S=0.9/(1-1/10) =1 értéket kapjátok.

Namost a következő lépésnek annak kell lennie, hogy a végtelen sorösszegből levonjátok egy tetszőleges n-ig menő sorozat összegét, és a kapott eredmény lesz egyfajta abszolút hiba. Ebből lehet csinálni persze relatív hibát is.

És ez az a pont, ahol a lényegig eljutunk, mert a gépnek is van egy pontatlansága, amikor ezt az eltérést már nem érzékeli.

Majd remélem az informatika szakon a számábrázolást is belétek verik, mert egy C nyelvnél is ez fontos. Plusz az adattárolás, a számítás hogyan van mentve, visszaolvasva, stb. És ez persze visszavezet a kettes számrendszerig...