Hogyan lehetne bebizonyítani a következő egyenlőtlenséget? x^4-x>-1/2 Minden valós x-re.

x^4-x+1/2>0

Grafikusan?

Az analízis eszközeivel:

[link]

#6

Csak azért kérdeztem, mert volt ebből már probléma az oldalon.

Akkor egy elemi megoldás (remélem, nem számoltam el az együtthatókat):

Ha x kisebb 0,5-nél, akkor triviálisan igaz, hiszen x^4 nemnegatív, és ebből x-et levonva legalább -0,5 lesz az eredmény.

Tehát feltehetjük, hogy x legalább 0,5-tel egyenlő. Írjuk fel x-et úgy, hogy x=0,5+t, ahol t egy nemnegatív szám.

Ekkor a bizonyítandó egyenlőtlenség úgy írható, hogy

(0,5+t)^4 - (0,5+t) > -0,5, ami átrendezve

(0,5+t)^4 - t > 0.

A negyedik hatványt kiszámoljuk (vagy két négyzetre emeléssel, vagy binomiális tétellel), így a bizonyítandó az alábbi módon fog kinézni:

t^4 + 2*t^3 + 1,5*t^2 - 0,5t + 0,0625 > 0.

Ez az egyenlőtlenség pedig teljesül, hiszen most t^4 + 2*t^3 nem lehet negatív (mivel t nemnegatív), és a hozzáadott

(1,5*t^2 - 0,5t + 0,0625) másodfokú polinom értéke minden valós t-re pozitív, hiszen a diszkriminánsa negatív, a főegyütthatója pedig pozitív.

Ezzel a bizonyítást befejeztük.