Ez az összeg hogy jön ki?

Tipikus teleszkópikus összeg.

Első körben az ismert (a+b)*(a-b)=a^2-b^2 azonosság alapján bővítsük a törtet gyök(n+1)-gyök(n)-nel, ekkor ezt kapjuk (az összevonások után):

(gyök(n+1)-gyök(n)) / 1, vagyis gyök(n+1) - gyök(n)-re változott a kifejezés.

Ha most felírod egyesével a tagokat, akkor azt veszed észre, hogy bizonyos tagok kiejtik egymást (gyakorlatilag majdnem az összes tag kiesik). Azok maradnak, akiknek nincs párjuk, ezek pedig az első és az utolsó tagok, tehát az összeg eredménye gyök(2009)-1 lesz.