Mit jelent az, hogy egy függvény bármennyiszer deriválható?

De, az is annak számít.

Ha már tudsz integrálni (antideriválni), akkor olyan függvényt vegyünk, ami nem deriválható minden pontjában, integráljuk azt, és remélhetőleg olyan függvényt kapunk, ami deriválható mindenhol.

Ilyen függvény klasszikusan az |x| függvény, ennek integrálja x^2*sgn(x)/2 (+konstans, de a konstanst válasszuk 0-nak), ahol az sgn(x) függvény az előjelfüggvény. Az x^2*sgn(x)/2 függvény képe így néz ki:

[link]

Gyakorlatilag az történik, hogy van az x^2/2 függvény, és annak "bal fele" az x-tengelyre került tükrözésre. Ez a függvény mindenhol ugyanúgy differenciálható, mint az alap x^2 függvény, de az x=0 egy kicsit több vizsgálatot igényel; ott meg kell néznünk a bal- és jobboldali differenciálhányadost, és hogy azok megegyeznek-e (igen, mindkettő 0 lesz).

Szóval ezt ha deriváljuk, akkor az |x| függvényt kapjuk, ami viszont nem differenciálható az x=0 pontban (illetve létezik a bal- és jobboldali differenciálhányados, viszont a bal oldali (-1), a jobb oldali 1,és mivel -1=/=1, ezért ott nem értelmezett).

Ezzel találtunk egy olyan függvényt, ami differenciálható mindenhol, de deriváltja nem. Ugyanezt a gondolatmenetet követve lehet konstruálni olyan függvényt, ami n-szer deriválható, de (n+1)-szer nem.

Vagy ennél is egyszerűbb példa a köbgyök(x) függvény. Erről tudjuk, hogy az x=0-ban az érintő egy függőleges egyenes, vagyis a differenciálhányados végtelen lesz. Azonban van az a függvény, amelynek ez a deriváltja;

Tudjuk, hogy (x^n)' = n*x(n-1), ez alapján ki tudjuk deríteni, hogy melyik függvény deriváltja a köbgyök(x); átírjuk hatványalakba: x^(1/3), a szabály alapján mi az x^(4/3)/(4/3) függvényt kerestük. És valóban, alkalmazva rá a fenti szabályt, visszakapjuk az x^(1/3) függvényt. Tehát az x^(4/3)/(4/3), vagyis a (3/4)*x^(4/3) függvény deriválható, de a deriváltja nem deriválható minden pontban.

Ha ebben is visszafelé gondolkodunk, akkor találhatunk olyan függvényeket, amik valameddig deriválhatóak minden pontjukban, de a következő lépésben nem.