100 ember között kisorsolnak 80 jegyet. Mennyi az esély arra, hogy te vagy a testvéred közül valamelyikőtök kap jegyet? Mennyi az esély, hogy mindketten kaptok?

Az elsőnél érdemesebb azt kiszámolni, hogy mekkora annak a valószínűsége, hogy egyikőtök sem nyer.

A másodiknál úgy számolsz, hogy ti megkapjátok a jegyeket, így a kedvező esetekhez azt kell számolnod, hogy 78 jegyet 98 ember között hányféleképpen tudnak kiosztani.

Azt látom.

A fő probléma az, hogy keversz dolgokat. Szépen haladjunk mindig sorjában, akkor nagyobb eséllyel jutunk eredményre;

1) Összes eset: (100 alatt a 80) = (nagyon nagy szám, ilyeneknek nem kell megadni a pontos értékét).

Kedvező eset = Összes - rossz

Rossz eset: egyikőtök sem nyer, vagyis a maradék 98 emberből választanak 80-at, vagyis (98 alatt a 80).

Tehát a kedvező esetek: (100 alatt a 80) - (98 alatt a 80)

Valószínűség: kedvező/összes = ((100 alatt a 80) - (98 alatt a 80))/(100 alatt a 80) = 1 - (98 alatt a 80)/(100 alatt a 80), itt pedig a definíció miatt tudunk egyszerűsíteni:

(98 alatt a 80)/(100 alatt a 80) = (98!/(80!*18!)) / (100!/(80!*20!)) = (98!/18!) / (100!/20!) = (98!/18!) * (20!/100!) = (98!*20!)/(100!*18!) = (20*19)/(100*99) = 19/(5*99) = 19/495, tehát ekkora a valószínűsége, hogy NEM nyertek. Tehát annak a valószínűsége, hogy legalább egyikőtök nyer: 1 - 19/495 = 476/495 =~ 0,962 = 96,2%

2) Ha mindkettőtöknek nyernie kell, akkor:

Összes eset: (100 alatt a 80)

Kedvező eset: ha ti ketten nyertek, akkor a maradék 98 emberből kell még 78-nak jegyet adni, ez (98 alatt a 78)

Valószínűség: (98 alatt a 78)/(100 alatt a 80), itt is lehet egyszerűsíteni:

(98 alatt a 78)/(100 alatt a 80) = (98!/(78!*20!)) / (100!/(80*20!)) = (98!/78!)/(100!/80!) = (98!/78!) * (80!/100!) = (98!*80!)/(78!*100!) = (80*79)/(100*99) = (4*79)/(5*99) = 316/495 =~ 63,8%, tehát ekkora eséllyel nyertek mindketten.

Az eredményből egyébként az is kiolvasható, hogy ha nem az egészet nézzük, akkor lehet egyszerűbben is számolni;

Tegyük fel, hogy van egy zsákban 80 piros és 20 fekete golyó. Akkor nyer valaki, hogyha pirosat húz. A 100 ember egyszerre húz a golyók közül.

1) Azt nézzük, hogy ti milyen golyókat tudtok húzni;

Összes eset: 100*99 = 9900

Kedvező eset: Összes - rossz

Rossz eset: 20*19 = 380, tehát a kedvező eset: 9900-380 = 9520.

Tehát 9520/9900 =~ 96,2% az esélye annak, hogy legalább az egyikőtök nyer.

2) Összes eset: 100*99 = 9900

Kedvező: 80*79 = 6320

Valószínűség: 6320/9900 =~ 63,8%, tehát ekkora eséllyel fogtok mindketten nyerni.

Röviden:

"Mennyi az esély, hogy mindketten kaptok?"

Legyen tombola: papír cetliken számok 1-től 100-ig. Mind a száz ember kap egyet. Az 1-től 80-ig fog nyerni.

Mennyi az esélye, hogy jót húzol belőle?

80/100

Mennyi az esélye, hogy a testvéred is jót húz belőle?

79/99

Hiszen összesen 99 és 79 nyerő maradt.

Tehát 80/100 * 79/99 = 0.638, vagyis 63,8%.

Az első kérdésre ugyanezzel a logikával:

1 - 20/100 * 19/99