Szánna rám valaki egy kis időt és segítene az integrálszámításban? 😞

a) Ábrázolod a függvényt és a grafikon alatti síkidom területét adod meg. (két derékszögű háromszög területének az összege)

b) Hasonlóképpen (egy 4 sugarú kör területének a negyede)

Ezeknél a feladatonál amivel tisztában kell lenned, az az alapvető integrálási képletek, valamint az alapvető algebrai átalakítások, és ezekből kell "kilogikázni" a megoldást;

a) Az abszolútérték definíciója szerint értelmezzük a függvényt;

|x-3|=

{x-3, ha x-3>=0, vagyis x>=3

{-(x-3), ha x-3<=0, vagyis x<=3

Ennek megfelelően az integrált két részre tudjuk bontani:

Első rész: int(-(x-3)) dx 2-től 3-ig

Második rész: int(x-3) dx 3-tól 6-ig

Ezeket külön-külön integrálod, az eredményeket összeadod.

c) Tudjuk, hogy összeadás/kivonás esetén tagonként el lehet intézni az integrálást, tehát külön integrálod most az 1-et és külön az e^(3x)-et, majd a kapott eredményeket kivonod egymásból.

Az e^(3x) esetén alakítsuk át a hatványt a hatványozás azonosságainak megfelelően:

e^(3x) = (e^3)^x

Van egy olyan integrálunk, hogy int(a^x) dx = (a^x)/ln(a), ahol az 'a' konstanst jelöl. az e^3 eléggé konstnans, ennek megfelelően:

int((e^3)^x) dx = ((e^3)^x)/ln(e^3), amit átalakíthatunk: (e^(3x))/3.

d) Egyszerűen csak végezzük el az osztást, majd tagonként integráljunk. A hatványozás azonosságainak értelmében az osztás eredménye:

5x^3 - 1/x + 3/x^3. Annak érdekében, hogy könnyedén tudjunk hatványozni, alakítsuk át hatványalakra őket:

5x^3 - x^(-1) + 3*x^(-3), ezeket pedig könnyedén tudjuk integrálni, ha ismerjük ezeket a szabályokat;

int(x^n) dx = x^(n+1)/(n+1), ha n=/=1 konstans, valamint

int(c*f(x)) dx = x*int(f(x)) dx, ahol c konstans, tehát a konstans szorzótényező kihozható az integrálból.

A középső tagnál pont (-1) van, ezért ott nem tudjuk ezt használni. Helyette ezt kell tudnunk:

int(1/x) dx = int(x^(-1)) dx = ln(x) + C

A b) és az e) kicsit bonyolultabbak, ott már az összetett függvény integrálját és a helyettesítéses integrált kell tudni, egyelőre ezekkel barátkozz meg, a többit majd meglátjuk.