Segítene valaki ennek a határértéknek a levezetésében?

Írjuk át annak tudatában, hogy ctg(x)=cos(x)/sin(x):

2x*cos(x)/sin(x), vagyis (2x*cos(x)/sin(x))

Ez 0/0 alakú ezért használható a L'Hospital-szabály: a számlálót és a nevezőt külön-külön deriválnunk kell.

Számláló: (2x*cos(x))'=2x*sin(x)+2*cos(x)

Nevező: sin(x)'(-cos(x))

A L'Hospital-szabály szerint

lim x->0 (2x)*(ctg(x))=lim x->0 2x*sin(x)+2*cos(x)/(-cos(x)).

Itt pedig már nem lesz 0 a nevezőben; 2*0*sin(0)+2*cos(0)/(-cos(0)=2/(-1)=-2, tehát a határértéke -2 lesz.

a) lim n->végtelen (-2*(n-edikgyökalatt n))+(n-edikgyökalatt (1/2))-((2/5)^n)

3 dolgot kell tudni:

1. lim n->végtelen n.gyök(n)=1

2. c>0-ra lim n->cégtelen n.gyök(c)=1

3. 0≤c≤1-re lim x->végtelen c^n=0.

Ezek alapján az első szorzat határértéke -2, a második tag határértéke 1, a harmadiké pedig 0, ezért az összeg határértéke -2+1+0=-1.

b) lim x->0+0 x*lnx

Logaritmus azonosság alapján x*lnx=ln(x^x), az x^x-ről tudjuk, hogy 0-ban a határértéke 1, ezért a határérték ln1=0 lesz.

c)lim n->végtelen ((2^n)-(7^n))/((3^n)-(5^n))

Emeljünk ki a számlálóból 7^n-ent, a nevezőből 5^n-ent:

7^n((2/7)^n-1)/((5^n((3/5)^n)-1))

A zárójeles részek a fenti megállapítás alapján -1-hez tartanak, hányadosuk 1, marad 7^n/5^n, ez pedig (7/5)^n-nel egyenlő, és mivel az alap 1-nél nagyobb, ezért a végtelenbe fog tartani.