Valaki le tudná írni parasztnyelven az alábbi fogalmat?

Ó a konvergencia és határérték definíciója :D

Addig gondolom világos, hogy mi az (xn) ⊂ R számsorozat, az x ∈ R határérték lényegében az a szám, amit a sorozat a végtelenben venne fel értékül. Nyilván végtelen, mint helyettesítési érték nincs, de meg tudjuk mondani, hogy a sorozat az x számhoz közelít. Azt, hogy az x a határérték úgy igazoljuk, hogy bármilyen apró ε > 0 számhoz tudunk egy olyan pontot mondania sorozatban (ez az N küszöbindex), hogy az utána következő helyeken mindenhol közelebb lesz a sorozat értéke x-hez, mint amennyi az ε. HA mondjuk ε=0,1 akkor az N küszöbindex jelöli azt a pontot, ami után az x és xn közötti különbség kisebb, mint 0,1. Az, hogy minden ε számra létezik ilyen N küszöbindex azt jelenti, hogy a sorozat valamely pontján (és azt követően) végtelenül közel kerülhet a határértékben (még ha el nem is éri soha).

határértékhez* a végén, bocsi az elírásért :)

Remélem így már világosabb.

Ha egy sorozatod elemei az előzőeknél közelebb kerülnek egy meghatározott számhoz, akkor konvergens. Durván. Szépen az, amit leírtál.

Például: az a(n)=\frac{n+1}{n-1} sorozat konvergens, mert találunk olyan számot (jelesül az 1-et), hogy bárhogyan is választasz ki egy kis számot, mondjuk az \epsilon=0,001-et, találsz olyan tagot, hogy minden utána lévő lévő tag ennél közelebb lesz az 1-hez. Most például ilyen az N=2001. (A kiszámolást rád bízom, nem nehéz, de roppant könnyű.)

Konyhanyelven egy sorozat konvergenciája azt jelenti, hogy a határértéknek tetszőleges környezetéhez található a sorozatnak olyan eleme, amelyet követő összes többi elem már ebben a környezetben van. Vagyis akármilyen pici környezetben is vizsgálódsz (tetszőleges epszilon), a sorozat egy "idő" után (azaz adott N küszöbindex felett) már ebben a pici környezetben halad tovább (azaz minden további eleme epszilonnál kisebb távolságra lesz a határértéktől). Végeredményben tehát a sorozat tetszőlegesen pontosan, azaz minden határon túl megközelíti az adott pontot.

Jó, hogy törekedsz arra, hogy ezeket matek nélkül, intuitíve is megértsd, mert aki csak a definíciót magolja be, az nem tud semmit.

A konvergencia fogalma egyébként általánosabb esetekben (metrikus és normált terek esetén vagy függvények pontonkénti konvergenciája esetén) is logikailag hasonló.