Hogyan írjuk helyesen?

Kb. igaz:

A kérdés a "Boldog új évet!" mondatra vonatkozott, ez pedig nem függ attól, hogy milyen környezetben használod. Különírandó, ez stimmel.

Ami melléknév, az az újévi (nem az újév – ezt talán csak elgépelted). Viszont nem azért írandó egybe, mert melléknév (bár ezt te sem írtad explicite, de kicsit így is lehet érteni), hanem mert az "újévi köszöntő" az újév ünnepén, január elsején hangzik el.

Ezt a jelentése alapján nyugodtan írhatnánk külön is, új évi köszöntőnek: ez esetben 'az éppen kezdődő évre vonatkozó, arról szóló köszöntő' lenne – ami egyébként lényegében ugyanazt jelenti. :-)

Az új( )évi fogadalomra (is) azt mondanám, hogy egybeírom, de tkp. mindkét formában jó, hiszen az újév napjához is kötődik (éppen aznap tökélünk el valamit), és az egész új évhez is van köze, hiszen egy ilyen fogadalom jellemzően nemcsak egy napra szól, hanem az a lényege, hogy hosszabb időn át, akár az egész új évben (vagy akár "ezentúl már mindig") másképp csinálunk valamit, mint eddig.

Lehet példát mondani arra is, amikor az "új évi" jelző egyértelműen különírandó, pl. "új évi tervek és remények".

(Ez is a tartalma miatt van külön, hiszen nem csak egy napra vonatkozik.)

Ezzel szemben az újévi malac, az újévi koncert, újévi ebéd, újévi üdvözlet már inkább csak egybeírva jó, hiszen kifejezetten az adott (ünnep)naphoz kötődik.

Ha ezt írod: "Boldog új évet kívánok!" az a következőt jelenti: az egész következő évre kívánsz boldogságot.

Ha ezt írod: "Boldog újévet kívánok!" az a következőt jelenti: január elsejére kívánsz boldogságot.

Tehát mindkét változat helyes, csak kissé mást jelentenek.