Hogyan kell megoldani?

Érthető okokból ez nem egy mértani sor, mivel a szomszédos tagok hányadosa nem ugyanaz. Első körben annyit el tudunk mondani, hogy ha q=1, akkor ez egy számtani sorozat: 1+2+3+...+n, ennek az összege (1+n)*n/2, ekkor az összeg végtelenhez tart.

Nem mártani sorozatról van szó, de nem jelenti azt, hogy annak felhasználásával ne lenne megoldható. Látható, hogy a sorozatból ki tudunk szedni egy mérteni sorozatot:

1+q+q^2+...+q^(n-1), erre az összeg (q^n-1)/(q-1) lesz.

Ami marad a sorozatból:

q+2q^2+3q^3+...+(n-1)*q^(n-1)

Ebből emeljünk ki q-t:

q*[1+2q+3q^2+...+(n-1)*q^(n-2)]

A zárójeles részbe csempésszünk még bele n*q^(n-1) tagot, de vegyük is el, hogy az érték ne változzon:

q*[1+2q+3q^2+...+(n-1)*q^(n-2)+n*q^(n-1)-n*q^(n-1)]

Mit ad isten, a szögletes zárójelen belül megjelent az eredeti összeg, vagyis B.

Így már minden adott, hogy felírjuk ezt az egyenletet:

B = (q^n-1)/(q-1) + q*[B-n*q^(n-1)], és ezt az egyenletet kell B-re megoldnunk. Bontsuk ki a zárójelet:

B = (q^n-1)/(q-1) + q*B-n*q^n, kivonunk q*B-t:

B*(1-q) = (q^n-1)/(q-1) -n*q^n, osztunk (1-q)-val:

B = [(q^n-1)/(q-1) -n*q^n]/(1-q)

Ez lesz a sorozat összege. Közös nevezőre hozással még lehet rajta szépíteni.

Ha nem számoltam el, akkor ebből ezt az alakot lehet kihozni:

[link]

Látható, hogy ha q=1, akkor zavar van a rendszerben, de ezt már az elején tisztáztuk.

Azért is érdemes átalakítani, mert abból az alakból lehet látni, hogy mikor lesz konvergens és mikor divergens az összeg.