Hogyan és miért úgy kell megoldani az alábbi feladatokat?

1. a három vektor mint vektorrendszer rangját érdemes vizsgálni. Azaz mi a maximális független vektorok száma:

a,b eleme R:

- látszik a(1,0,1) = b(1,1,0) az eslő koordináta alapján a=b lehet, de többire nem jó, így nem egy egyenesbe esnek / nem kollineárisak/lineárisan függetlenek.

- a 3. vektor pedig nem állítható elő belőlük: (0,1,1)=a(1,0,1) + b(1,1,0) az első koordinátát nézve a=-b, de a többi koordinátára nem lesz jó, tehát a 3. vektor is független.

3 független 3 dimenziós vektor meg kifeszíti a teljes 3 dimenziót.

3. sőt ezen síkok az origón mennek át (=0 miatt) így a síkok metszete altér.

A síkok normálisa: (1,-2,-1,1) és (2,1,2,-1). <- lineárisan függetlenek, ezen vektorok mindegyikére merőleges vektorok esnek mindkét síkba. Ezen altér dimenziója a két független normális miatt: 4-2 = 2.

De a fenti eredmény kijön, ha megoldjuk a két egyenletet mint lineáris egyenletrendszert. Sőt a végén a megoldáshalmazt paraméterezhetjük, ebből pedig könnyen előállíthatjuk a generátorrendszer egy-egy elemét.

I. x-2y-z+u=0

II. 2x+y+2z-u=0

I.+II.:

3x -y + z = 0 > y=3x+z

II. 2x+(3x+z)+2z-u=0

5x+3z = u

Tádá. A paraméterem x és z, ez 2 db, tehát a megoldáshalmaz 2 dimenziós.

Elemei: (x,3x+z,z,5x+3z)

2 megoldáshalmazbeli vektor ami kifeszíti a megoldás terét:

(x,3x,0,5x) és (0,z,z,3z) bármely nem 0 x-re és z-re működik :)