Lineáris leképezés, van pár kérdésem. Mit jelent pontosan komplex számok teste feletti vektorok, hogy kell elképzelni a felettit itt pontosan.?

Nem másoltam be, magamtól írtam.

Nagyon konyhanyelven azt jelenti, hogy az n darab lineáris függvényből álló Rn vektortér origójából annak bármelyik pontjába el lehet jutni.

Például R2-ben elég egy i és egy j egységvektor, amik egymásra merőlegesek, hogy bármelyik pontba eljuthassunk ezek valamilyen skalárszorosával és azok összegével. Viszont az R2 vektortér nem csak ezekkel a vektorokkal határozható meg; R2 esetén nincs nagy elvárás, csak az, hogy a rendszer alapjául szolgáló két vektor ne legyen párhuzamos egymással. Még merőlegesnek sem kell lenniük, bár általában azt a rendszert használjuk. Ha R3-ban akarunk vizsgálódni, akkor ez már nem elég; szükséges, hogy valamelyik vektor kimutasson a síkról. Mivel tujduk, hogy az előbbi két vektorral az általuk meghatározott R2 sík bármelyik pontjába el lehet jutni, ezért a sík pontjába mutató vektor biztosan nem lesz jó; például az i+j vektor ugyanúgy a síkba fog mutatni. Ezért találták azt ki, hogy a ne lehessen leírható a többi vektor lineáris kombinációjával, hogyha nagyobb dimenziójú vektorteret akarunk felállítani.

Bónusz: általában azt szeretjük, hogyha a tengelyek páronként merőlegesek egymásra, és ezt egy külön névvel is szoktuk illetni, ami az ortonormált bázis megnevezés.

Bocsánat, nem egészen; amit írtam, az az ortogonált bázis. Az ortonormált is ortogonált, de annyival tud többet, hogy az ortogonált bázis esetén ugyan mindenki merőleges mindenkire, de nem egységnyi hosszúak. Az ortonormált bázis esetén viszont a vektorok egységnyi hosszúak.

Például síkban is szokás úgy skálázni a tengelyeket, ha érdekeink úgy kívánják, hogy a két tengelyen egy lépéshossz nem ugyanannyit ér, például a függőleges tengelyen nem egyesével, hanem 10-esével, 100-asával, 1000-sével, stb. skálázunk. Ez így ortogonált bázis. De ha az i és j egységektorokkal számolunk, akkor az már ortonormált.

12.

Bocsánatot szeretnék kérni, mert valóban tisztában vagy a matekkal.

Ha mással nem, legalább ezzel a bázisosdival :) Egyébként nekem is nagy homály volt, hogy mi is ez (sőt, még a lineáris kombináció értelmezésével is, hogy miért így van), aztán foglalkoztam vele és sikerült úgy-ahogy megértenem.

A matematikai leírás nagyon nyers. Vannak benne betűk, néhanapján számok, aztán jóvanazúgy. A fő gond a leírással az, hogy a motiváltságot nem lehet belőle kiolvasni, vagyis a miértjét, ami a legfontosabb.

Az oktatásban is sajnos ezt lehet látni. A definíciók lógnak a levegőben, be kell őket seggelni, tudjad őket használni. Pedig sokkal könnyebben meg lehetne jegyezni is, hogyha értenénk, hogy miért úgy definiálták, ahogy.

Egy egyszerű példa; két szám relatív prím, hogyha legnagyobb közös osztójuk 1. Ez még úgy talán érthető is. De az, hogy ez miért jó, miért kellett ezt külön definiálni, tehát hogy mi motiválta ezt a definíciót, az nem derül ki.

Ugyanez a helyzet gyakorlatilag a tételekkel is. Van egy levezetése, azt' seggeld be. De az nem derül ki, hogy erre milyen gondolatmenet alapján jöttek rá, pedig van, hogy egy csomó tételen évekig dolgoznak a matematikusok, neked pedig megmutatják és tudjad.

Tisztán emlékszem még, én akkor az euklideszi algoritmussal voltam így. Megmutatták a formális levezetését, aztán elvárták, hogy értsem is, meg tudjam is használni. Jóval később döbbentem rá, hogy valójában ez micsoda.

Még meglehet, hogy oldalakat tudnék erről írni, úgyhogy most itt abbahagyom. Hogy a kérdező kérdésére is reagáljak; mi volt a hom(V) szövegkörnyezete?

Jó az észrevétel, az egész matek amúgy nem olyan nehéz, szinte mindig ilyen tök egyértelmű dolgok vannak mögötte, hiszen a valóságot modellezi a matek.

Csak épp, ha nem fejezik ki az egészet a tanárod, akkor nehéz megérteni.

Közben meg...