Emelt matematika feladat?

Hogy intuitíven hogyan tudnád, azt nem tudom. Amit a második deriváltról tudni kell; azt mutatja meg, hogy a függvény az adott pontban (illetve környezetében) konvex, konkáv, vagy inflexiós pontja van-e.

Konvex a függvény az [a;b] intervallumon, hogyha a függvény két pontját kiválasztva az intervallumról és azokat összekötve a keletkező szakasz végig a függvény görbéje felett (nem alatt) lesz. Például ha az x^2 függvényt vizsgálod, akkor azt kapod, hogy a szakaszok mindig a görbe felett lesznek. Ennek a függvénynek a második deriváltja 2, ami mindenhol pozitív. Azt mondhatjuk, hogy ha f''(x)>=0, akkor a függvény ott konvex.

Konkáv: ugyanaz, csak a szakasz a görbe alatt (nem felett) lesz, lásd például a -x^2 függvényt, és ebben az esetben f''(x)<=0.

Inflexiós pont: az a pont, amelyben a függvény konvexből konkávba, vagy konkávból konvexbe vált. Ebben az esetben a második függvény deriváltjának értéke pontosan 0. Ilyen például az x^3 függvény; x<0-ra a függvény konkáv, x>0-ra a függvény konvex, így x=0-ban konkávból konvexre vált a függvény, és ott inflexiós pontja van.

A fentiek fényében az x1 pontban a második derivált negatív lesz, x3 pontjában pedig pozitív.

Érdekes kérdés lehet, hogy mi van akkor, hogyha a behúzott szakasz a függvény görbéjére esik, mint például az x függvény esetén. Ennek a második deriváltja mindenhol 0, így a definíció szerint minden egyes pontjában konvex, konkáv és inflexiós pontja van.

Illetve intuitíven úgy tudod megközelíteni, hogy készítesz egy szabadkézi rajzot a függvény deriváltjáról;

-Kijelölöd a függvény két lokális szélsőértékhelyét, ezekenek a helyeken a derivált értéke 0.

-Az első előtt azt látod, hogy végig nő a függvény, viszont a meredekség egyre csökken, egészen 0-ig, tehát egy csökkenő görbét rajzolsz, aminek a függvényértékei végig pozitívak, és a végén metszi az x-tengelyt, valahol az x1 és az x2 között.

-Ezután a függvény elkezd csökkenni úgy, hogy egyre meredekebb lesz, majd egy idő után (az x3 pont előtt valahol, ott van egyébként a függvény inflexiós pontja) elkezd ellaposodni a függvény, tehát a meredekség elkezd a 0 felé közelíteni, mígnem eléri a 0-t.

-A második lokális szélsőértékhely után elkezd egyre jobban nőni a függvény, vagyis a függvénygörbe újra pozitív értékeket vesz fel, és egyre nagyobbakat.

Ha ez a szabadkézi rajz megvan, akkor ugyanaz a feladat, mint az előbb, vagyis erre a megrajzolt függvényre kell megnézni, hogy a meredeksége hol pozitív és hol negatív.

Deriválod először. Abba visszahelyettesíted az X értékeket ahol vizsgálod a függvényt. Ez általában +- végtelen plusz a kritikus pontok. A derivált fgv 0 pontját számold ki, ahol 0 lesz a derivált fgv. ezek a pontok lehetnek helyi minimum/maximum helyek. Utána a helyettesítést a derivált függvényébe tedd a kritikus helyeken, és +- végtelenben. Megkapod hogy + vagy -. Ahol + ott nő ahol- csökken a fgv.

Utána az első deriváltat megint deriváld. Utána megint számold ki hol 0 a második derivált fgv. Visszaírod ezeket is a táblázatba, és mehet itt is az előjel vizsgálat mint az első deriváltnál helyettesítéssel. Ahol + lesz ott konvex, ahol- ott konkáv a fgv képe. Nem tudom mennyire érthető így, egyébként nem nehéz ha ráérzel

Bocs, most néztem a képet, nincs megadva a fgv csak a képe. Így még könnyebb. Balról haladsz jobbra, úgy vizsgáld a fgv t. Ahol felfelé megy, ott nő a fgv érték. Tehát az első derivált + lesz, ahol csökken ott - lesz. Alsó-felső pont, szélsőérték, ott lesz 0 az első derivált.

Második derivált ott lesz + a fgv ahol a képe konvex, tehát "mosolyog" a fgv, és ott lesz negatív ahol konkáv "szomorú" a fgv. Itt nem számít hogy nő vagy csökken. Az csak az infl.pontnál lényeges

#3, ezzel csak annyi a probléma, hogy a jelenlegi feladatban egyedül a függvény képe ismert, tehát deriválni nem lehet. Ha megadták volna a hozzárendelés szabályát, akkor a hülye is megoldotta volna könnyedén, mert aki tud deriválni, annak nyilvánvaló, hogy csak deriválni kell egyszer/kétszer a függvényt, és behelyettesítéssel kapjuk a ponthoz tartozó deriváltérték előjelét.

A feladat arra összpontosít, hogy az érettségiző érti-e a derivált fogalmát, mert ha igen, akkor csak a függvény képéből megállapíthatóak ezekre a kérdésekre a válaszok.

#4, közben korrigáltad magad.

Én egyébként mindig falra másztam ettől a „függvény mosolyog/szomorú” marhaságtól, mert például az x^3 függvény egyiket sem csinálja, mégis hol konkáv, hol konvex.

Sokkal egyszerűbb azt a(z egyébként matematikailag teljesen precíz) definíciót megérteni, hogy a függvény húrja a függvénygörbe alatt vagy felett van-e, attól függően konkáv vagy konvex a függvény.