Hogyan csináljam meg ezt a matek feladatot?

Van egy módszer a racionális gyökök keresésére tetszőleges egész (racionális) együtthatós polinom esetén. Legyen x = p/q, ahol p és q egymáshoz relatív prím egész számok:

2*(p/q)^3 + 3*(p/q) – 5 = 0,

2*p^3 + 3*p*q^2 – 5*q^3 = 0.

Ebből

p*(2*p^2 + 3*q^2) = 5*q^3.

Mivel a jobb oldalon mindkét tényező egész, valamint p és q relatív prímek, ezért p osztója 5-nek (vigyázat, negatív osztó is lehet, ez összesen 4 lehetőség).

Másrészt

q*(5*q^2 – 3*p*q^2) = 2*p^3,

ezért hasonlóan q osztója 2-nek.

Szóval p is 4-féle lehet, és q is, ezért 16 lehetőséget végigpróbálgatva megkapod az összes racionális gyököt. Ha egyet találsz, akkor opció, hogy polinomosztással másodfokúra redukáld, így a további (akár nem is feltétlenül racionális) gyököket is meg tudod keresni a másodfokú egyenlet megoldóképletével.

A helyettesítést és a polinomosztást segíti a Horner-elrendezés: [link]

Másik megoldás, hogy neki mégy a Cardano-képlettel, ami jelenesetben a másodfokú tag hiánya miatt még csak nem is olyan bonyolult: [link]

[link]

> „16 lehetőséget végigpróbálgatva”

Illetve elég csak 8-at, mert (–p)/(–q) = p/q, illetve p/(–q) = –p/q. De tök mindegy.

Ránézésre megmondható, hogy x=1 megoldása lesz.

Innen a további megoldás úgy mehet, hogy polinomosztunk x-1-gyel (lévén 1 gyöke, ezért az algebra alaptétele szerint x-1 kiemelhető), meg lehet Hornerrel is oldani, de hivatkozhatunk a függvénytranszformációnál tanultakra is; írjunk x helyére x-1-et:

2(x-1)^3+3(x-1)+5=0, ha ezt kibontod, majd összevonsz, akkor egy olyan egyenletet kapsz, amelyiknek gyöke a 0, tehát kiemelhető x, így a bal oldal egy elsőfokú és egy másodfokú polinom szorzatára bomlik szét, és a másodfokú tényezőre már könnyedén felírható a megoldóképlet. Értelemszerűen az eredetinek úgy kapjuk meg a gyökeit, hogy az ebből kapottakhoz hozzáadunk 1-et.