X^3-5x^2+6>5? ara vagyok kiváncsi hogy ezt szorzattá kell alakitanom, és grafikai uton megoldani, vagy megkeresni valahogyan a gyököket?

Szia!

Tuti ez a feladat? Mert ebben a formában szerintem középiskolás eszközökkel nem lehet tökéletesen megoldani (csak közelítő megoldást lehet adni, vagy a harmadfokú megoldóképletet kell használni, amit nem szoktak tudni).

A teljes megoldás az lenne, hogy 0-ra rendezed:

x^3-5x^2+1>0

Utána pedig a bal oldalnak kiszámítod a gyökeit a harmadfokú megoldóképletével, gyöktényezőkre bontod, megállapítod, hogy hol negatív, hol pozitív a szorzat.

De a tipikus feladatot nem így kell megoldani. Ha a feladat ez lenne: x^3-5x^2+6>0, akkor meg lehetne oldani a szokásos módon, ami a következő.

Tanultátok a racionális gyöktesztet? Egész együtthatós polinomoknál lehet használni, mint a tied. Elvileg van középiskolában. A lényege: megnézed a konstans tagot és a főegyütthatót. Ha van racionális gyöke a polinomnak, akkor annak a számlálója osztja a konstans tagot, a nevezője pedig a főegyütthatót.

Itt a konstans tag 6, ezért a racionális gyök számlálója 6, 3, 2, 1, -1, -2, -3, -6 lehet. A főegyüttható 1, ezért a nevező +1 vagy -1, azaz a racionális gyök egyúttal egész is lesz, tehát csak a fent felsorolt 8 db egész számot kell kipróbálni (amíg legalább egy jót találsz, utána fölösleges folytatni).

Az egyik gyök lesz (nem írom le, melyik, keresd meg magadnak), akkor azt gyöktényezőként ki tudod emelni, ezzel szorzattá tudod alakítani. Utána marad egy másodfokú tagod, annak már ki tudod számolni a gyökeit.

Az eredeti feladatnál ez azért nem működik, mert a x^3-5x^2+1-nak nincs racionális gyöke (ott az 1-et és a -1-et kell kipróbálni, egyik sem gyök), és itt zsákutcába jutott ez a megoldási mód. Mert a racionális gyök létezésére garancia nincs, csak "véletlenül" mindig pont olyan feladatokat szoktunk feladni, ahol működik.