Adott hozzarendelesi szabaly eseten mi a zerushelye ennek a fuggvenynek?

Definíció szerint a maximum és a minimum olyan (a függvény által felvett) érték, amelynél nagyobbat/kisebbet nem vesz fel a függvény. Mivel a 2^x függvény szigorúan monoton növő (tehát ha nagyobb számot x helyére, akkor mindig angyobb függvényértéket kapsz, például ...<2^(-2)<2^(-1)<2^0<2^1<2^2<...), és a függvény minden valós számra értelmezve van, ezért a függvénynek sem minimuma, sem maximuma nincs. Ahogyan utalt rá az első válaszoló, a 0 esetleg lehetne minimum, viszont a függvény a 0-t nem veszi fel értéknek, emiatt nem lehet minimum. Amit ő kiszámolt, az az infémum, magyarul legnagyobb alsó korlát, vagyis az a szám, amelynél kisebbet nem vesz fel a függvény. Adott esetben az infémum egybeeshet a minimummal, például az x^2 függvénynek minimuma és infémuma is, tehát a létezik a minimum, akkor az infémum is, viszont ha az infémum létezik, abból nem feltétlenül következik, hogy mminimum is létezne, erre jó példa ez a függvény.

A maximum esetén is van ilyen; a legkisebb felső korlátot szuprémumnak nevezik, és ugyanolyan viszonyban áll a maximummal, mint az infémum a minimummal.

A lényeg: a függvénynek nincs minimuma, mivel nem tudunk olyan függvényértéket mondani, amelynél ne venne fel kisebbet valahol. Hasonló a helyzet a maximummal is.

(Az pedig egy hatalmas baromság, hogy a végtelen a maximuma, amit x=végtelennél vesz fel; egyrészt azért, mert a minimum/maximum egy konrét érték, a végtelen pedig nem az, másrészt a helyettesítési értékek is konkrét számok, és a végtelen még mindig nem az.)

Értékkészlete: a pozitív valós számok halmaza. Nem nehéz kitaláli, hogy negatív értéket miért nem vehet fel, vagy a 0-t, az összes pozitív számot pedig felveszi. Ez azért van, mert a függvény folytonos is, és ha egyszerre folytonos, szigorúan monoton növő és nincs maximuma, akkor kénytelen minden számot felvenni egy adott értéktől kezdve, ami most a 0.