Oszthatóság 9. osztály, tudnátok lökni egyet rajtam? :D

Az a kérdés, hogy az m betű helyére milyen természetes szám írható, hogy a 20+3m, 8m+3 és 5m+6 osztható legyen 4-gyel?

Nézzük az elsőt;

ha m=0, akkor 20+3*0=20, ez osztható 4-gyel

ha m=1, akkor 20+3*1=23, ez nem osztható 4-gyel

ha m=2, akkor 20+3*2=26, ez sem osztható 4-gyel

ha m=3, akkor 20+3*3=29, ez sem osztható 4-gyel

ha m=4, akkor 20+3*4=32, ez osztható 4-gyel.

.

.

.

Hogyha ezt folytatjuk, akkor azt látjuk, hogy ha m értéke 4-gyel osztható, akkor az egész osztható lesz 4-gyel. Ez még egyelőre csak egy sejtés, ami azt jelenti, hogy reményeink szerint a levezetéssel ezt kapjuk.

A megoldásnál számelméleti alapvetéseket kellene felhasználni, viszont átláthatóbb a megoldás, hogyha törtekkel számolunk; osszuk el a 20+3m-et 4-gyel:

(20+3m)/4

A törteknél tanult számítások alapján ez felírható ilyen alakban:

20/4 + 3*(m/4)

20/4 értéke 5, a 3*(m/4) esetén nem tudunk egyszerűsíteni, így ez csak akkor lesz osztható, hogyha m osztható 4-gyel, és ezt sejtettük meg az elején.

A másodiknál is lehet próbálgatni, akkor azt kapjuk, hogy sosem lesz osztható 4-gyel, de ugyanezzel a módszerrel be lehet látni;

(8m+3)/4 = (8m)/4 + 3/4 = 2m + 3/4

Mivel 2m értéke biztosan egész, a 3/4 értéke pedig nem, egész+tört=tört, ezért nincs olyan m, hogy ez egész lehetne, így az eredeti kifejezés nem osztható 4-gyel.

5m+6 esetén egy kicsit több dolgunk van:

(5m+6)/4 = (4m+m+4+2)/4 = (4m)/4 + 4/4 + (m+2)/4 = m + 1 + (m+2)/4

Ebből azt láthatjuk, hogy ha m értéke 2, 6, 10, 14, ..., akkor az eredmény egész lesz, ezt úgy tudjuk leírni, hogy ha m értéke 4-gyel osztva 2 maradékot ad, akkor lesz egész.

Az utolsó kettőnél mi a kérdés?