Valaki segítene?

Elsővel egyet értek. Tuti ez a feladat?

Csak mert ha:

kiemelem bal oldalt p-t, jobb oldalt q-t, akkor másodfokú egyeletet kapok jobb és bal oldalt is, mint szorzó tényezőt.

p*(1-4p+p^2) = q*(1-4q+q^2)

Innen akár p1,2-re, akár q1,2-re ezek jönnek ki gyöknek:

p1,2 = +4 +/- sqrt(12) / 2

Innen nem lehet tovább menni, mert ha a szorzat egyik tényezője nulla, akkor az egész nulla lenne, így egyenlő lehet mindkettő egyenlet egymással, csak ugye a kapott két gyök egyike sem pozitív prím szám.

Először próbáljunk meg jól rendezni az egyenletben:

p-q + p^3+q^3 = 4p^2-4q^2

Használjuk a tanult azonosságokat az összegeken:

p-q + (p-q)*(p^2+p*q+q^2) = 4*(p+q)(p-q)

Mivel p és q különböző számok, ezért gond nélkül oszthatuno (p-q)-val:

1 + p^2+p*q+q^2 = 4*(p+q)

Emeljünk ki a középső két tagból p-t:

1 + p*(p+q) + q^2 = 4*(p+q)

Vonjuk ki a középső tagot:

1+q^2 = 4*(p+q)-p*(p+q)

Most ki tudunk emelni (p+q)-t:

1+q^2 = (p+q)*(4-p)

Érthető okokból p értéke csak 2 vagy 3 lehet. Ha a rendezést nem p-re, hanem q-ra végeztük volna, ekkor ugyanezt az alakú egyenletet kaptuk volna, csak p és q felcserélve, tehát q-ra is igaz, hogy csak 2 vagy 3 lehet az értéke.

Tehát p=2 és q=3, és q=2 és p=3 lehet az egyenletnek a megoldása. Azt látjuk, hogy mindkettőre -6=-6 jön ki, tehát valóban megoldásai az egyenletnek.

Ezzel megtaláltuk az összes megoldást.