Hogyan kell megoldani?

Elírtad az egyik sort!

(k^3-k)+3k^2+3k (én nem 2k)

Így már megy?

Ott rontottad el, hogy összevontad a 3k-k tagot, így lett 2k, viszont a "-k" bekerült az indukciós feltevésbe is, tehát 1 k-val több került levonásra.

Tehát most az a kérdés, hogy 3k^2+3k osztható-e 6-tal.

A legegyszerűbben ezt úgy lehet belátni (ahogyan igazából az egész feladat is megoldható, sokkal egyszerűbben), hogy szorzattá alakítod: 3k*(k+1)

Egy szám akkor osztható 6-tal, hogyha osztható 3-mal és 2-vel. 3-mal bizotsan osztahtó a 3* miatt, 2-vel pedig azért, mert vagy a 2 osztható 2-vel, vagy a k+1.

Egyébként vannak olyan példák, ahol többször kell elvégezni az indukciós lépéseket. Itt is megoldható, mintha az lenne az eredeti feladat, hogy bizonyítsuk, hogy 6|3k^2+3k, és mint ahogy az elején tetted, megnézed k=0,1,2,..-ra, aztán felteszed, hogy k=l-ig igaz, és mi a helyzet l+1-re.

Egyébként az eredeti feladat átírható n*(n-1)*(n-1) alakra, ebből szépen ki lehet olvasni a 6-tal való oszthatóságot; mivel 2-vel és 3-mal is biztosan osztható a szorzat, ezért 6-tal is, így az eredeti is.